3622
правки
Изменения
→Моноид с порождающими соотношениями
<tex> f(ba) = f(b) ~\texttt{++}~ f(a) </tex>
Следовательно, так как <tex> ab = ba </tex> и отображение <tex> f </tex> является изоморфизмом, то <tex> f(ab) = f(a) ~\texttt{++}~ f(b) = f(b) ~\texttt{++}~ f(a) = f(ba) </tex>. Пусть <tex> |f(a)| = m, |f(b)| = n </tex>. Равенство этих последовательностей означает, что у последовательности <tex> f(a) ~\texttt{++}~ f(b) </tex> есть два [[Период и бордер, их связь | бордера]] длин <tex> m </tex> и <tex> n </tex> соответственно, значит, она периодическая и имеет период равный НОД<tex>\gcd(n, m)</tex>.
[[File:FreeMonoidConcatExample.png|300px]]
Из этого следует, что последовательности <tex> f(a) </tex> и <tex> f(b) </tex> можно представить в виде конечного объединения некоторой подпоследовательности <tex> s </tex>, являющейся периодом и имеющей длину НОД<tex>\gcd(n, m)</tex>.
<tex> f(a) = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{p} </tex>
<tex> f(b) = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{q} , s \in M_S </tex>
Пусть НОК<tex>\mathrm{lcm}(p, q) = l</tex>, тогда
<tex dpi> \overbrace{f(a) ~\texttt{++}~ f(a) ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ f(a)}^{l / p} = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{l} </tex>
