212
правок
Изменения
Новая страница: «== Числа Каталана == <wikitex> {{Определение |id = def1 |definition =Числа Каталана {{---}} последовательнос...»
== Числа Каталана ==
<wikitex>
{{Определение
|id = def1
|definition =Числа Каталана {{---}} последовательность чисел, выражающих:
*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и $n + 1$ листьями;
*количество способов соединения $2n$ точек на окружности $n$ не пересекающимися хордами;
*количество разбиений выпуклого $n$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;
*количество способов полностью разделить скобками $n + 1$ множитель;
*количество корректных скобочных последовательностей, состоящих из $n$ открывающих и $n$ закрывающих скобок;}}
Первые несколько чисел Каталана:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...
</wikitex>
==Задача разбиения выпуклого $n$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями==
<wikitex>
Ответ на задачу при $n$ = 3 тривиален: никаких
диагоналей проводить не надо. В четырёх угольнике можно провести любую из
двух диагоналей, так что способов два. В пятиугольнике — из любой вершины две
диагонали, 5 способов. При $n$ = 6 — первый не вполне очевидный ответ: 14 способов (см. рис.); чтобы
не запутаться, сторона BC выделена и отдельно нарисованы разрезания, в которых
к ней примыкают соответственно треугольники $BCA$, $BCF$, $BCE$ и $BCD$.
Рассмотрим выпуклый $n$-угольник, разрезанный диагоналями на треугольники. Легко доказать, что количество диагоналей проведенных из одной вершины равно $n$−3.
</wikitex>
<wikitex>
{{Определение
|id = def1
|definition =Числа Каталана {{---}} последовательность чисел, выражающих:
*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и $n + 1$ листьями;
*количество способов соединения $2n$ точек на окружности $n$ не пересекающимися хордами;
*количество разбиений выпуклого $n$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;
*количество способов полностью разделить скобками $n + 1$ множитель;
*количество корректных скобочных последовательностей, состоящих из $n$ открывающих и $n$ закрывающих скобок;}}
Первые несколько чисел Каталана:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...
</wikitex>
==Задача разбиения выпуклого $n$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями==
<wikitex>
Ответ на задачу при $n$ = 3 тривиален: никаких
диагоналей проводить не надо. В четырёх угольнике можно провести любую из
двух диагоналей, так что способов два. В пятиугольнике — из любой вершины две
диагонали, 5 способов. При $n$ = 6 — первый не вполне очевидный ответ: 14 способов (см. рис.); чтобы
не запутаться, сторона BC выделена и отдельно нарисованы разрезания, в которых
к ней примыкают соответственно треугольники $BCA$, $BCF$, $BCE$ и $BCD$.
Рассмотрим выпуклый $n$-угольник, разрезанный диагоналями на треугольники. Легко доказать, что количество диагоналей проведенных из одной вершины равно $n$−3.
</wikitex>
