748
правок
Изменения
Нет описания правки
|definition=
'''Транзитивным замыканием''' (англ. ''transitive closure'') <tex>\mathrm{TrCl}(R)</tex> отношения <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется пересечение всех транзитивных отношений, содержащих <tex>R</tex> как подмножество (иначе, минимальное [[транзитивное отношение]], содержащее <tex>R</tex> как подмножество).}}
Например, если <tex>V</tex> {{- --}} множество городов, и на них задано отношение <tex>R</tex>, означающее, что если <tex>x R y</tex>, то "существует автобусный маршрут из x в y", то транзитивным замыканием этого отношения будет отношение "существует возможность добраться из x в y, передвигаясь на автобусах".
== Существование и описание ==
* <tex>R \subset R^+</tex> по определению <tex>R^+</tex>
* <tex>R^+</tex> транзитивно. Пусть <tex>a R^+ b</tex> и <tex>b R^+ c</tex>. Это значит, что существуют i, j такие, что <tex>a R^i b</tex> и <tex>b R^j c</tex>. Но тогда <tex>a R^{i+j} c</tex>, и, так как <tex>R^{i+j} \subset R^+</tex>, то <tex>a R^+ c</tex>
* <tex>R^+</tex> {{- --}} минимальное отношение, удовлетворяющее представленным требованиям. Пусть <tex>T</tex> {{--- }} транзитивное отношение, содержащее <tex>R</tex> в качестве подмножества. Покажем, что <tex>R^+ \subset T</tex>. <tex>R \subset T \Leftrightarrow R^i \subset T</tex> для любого натурального <tex>i</tex>. Докажем это по индукции. <tex>R^1 = R \subset R^+</tex>, как было показано выше. Пусть верно для любого <tex>i \le k</tex>. Пусть <tex>a R^{k+1} c</tex>. Но тогда существует <tex>b: aR^kb</tex> и <tex>bRc</tex>, но <tex>R \subset T, R^k \subset T</tex>, следовательно <tex>aTb, bTc</tex>. Из транзитивности <tex>T</tex> следует, что <tex>aTc</tex>, следовательно <tex>R^{k+1} \subset T</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Если <tex>R</tex> {{- --}} отношение на конечном множестве размера n, то транзитивным замыканием такого отношения будет отношение
:<tex>T = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} R^i</tex>.
* Транзитивное замыкание симметричного отношения симметрично. Действительно, пусть <tex>aTb</tex>, значит существуют <tex>x_1, x_2, ..., x_n</tex> такие, что <tex>aRx_1, x_1Rx_2, ..., x_nRb</tex>. Но из симметричности отношения <tex>R</tex> следует <tex>bRx_n, x_nRx_{n-1}, ..., x_1Ra</tex>, а, следовательно, <tex>bTa</tex>
* Транзитивное замыкание не сохраняет антисимметричность, например, для отношения <tex>\{(a, b), (b, c), (c, a)\}</tex> на множестве <tex>\{a, b, c\}</tex>
* Транзитивное замыкание транзитивного отношения {{- --}} оно само
== Рефлексивно-транзитивное замыкание ==
