55
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Двоичный код антигрея''' (англ. ''Binary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание двоичных векторов длины <tex>n</tex>, что соседние отличаются не менее, чем в <tex>n-1</tex> битах.
}}
Заметим: упорядочивание векторов такое, что соседние отличаются во всех битах, возможно только для <tex>n = 1</tex>. Это объясняется тем, что для двоичного вектора существует ровно один вектор, отличающийся во всех битах, а в последовательности, где <tex>n > 1</tex>, таких векторов должно быть два.
=== Псевдокод ===
<code> '''function ''' genBinAntiGray(n: '''int'''): '''for''' i = 1 to 2**(n-1)
v = getMirrorGray(i, n)
print(v)
inverseBits(v)
print(v)
</code>
=== Доказательство корректности алгоритма ===
Обозначим за <tex>G_i</tex> — <tex>i</tex>-ый вектор в зеркальном коде Грея, <tex>\overline G_i</tex> — его инверсию.
Тогда вектора будут располагаться в таком порядке:<br>*:... <br>*:<tex>G_i</tex> <br>*:<tex>\overline G_i</tex> <br>*:<tex>G_{i+1}</tex> <br>*:<tex>\overline G_{i+1}</tex> <br>*:<tex>G_{i+2}</tex> <br>*:...<br>
<tex>G_i</tex> и <tex>\overline G_i</tex> отличаются во всех битах. <br>
Если <tex>G_i</tex> и <tex>G_{i+1}</tex> отличаются в <tex>k</tex>-ом бите, то инверсия <tex>G_i</tex> совпадает с <tex>G_{i+1}</tex> только в <tex>k</tex>-ом бите. То есть <tex>\overline G_i</tex> и <tex>G_{i+1}</tex> отличаются во всех позициях, кроме <tex>k</tex>-ой.
В отличие от двоичного кода антигрея, здесь мы не сталкиваемся с проблемой однозначности "соседа" и можем привести такой код, соседние элементы которого будут отличаться во всех разрядах.
=== Пример Алгоритм генерации === Упорядочим все троичные вектора лексикографически. Тогда для первых <tex>3^{n-1}</tex> векторов будем выводить сначала сам этот вектор, потом <tex>2</tex> его поразрядных циклических сдвига (каждый отдельный бит увеличиваем на 1). <br>Например, если мы имеем вектор <tex>021</tex>, то вы выведем: <tex>021</tex>, <tex>102</tex>, <tex>210</tex>. Утверждается, что выполняя эти действия мы получим троичный код антигрея. === Псевдокод ===<code> '''function''' genTernAntiGray(n: '''int'''): '''for''' v = <000..0> to <022..2> // троицчные вектора длины n '''for'''int i = 0 to 2 print(v) digitCircleShift(v)</code>Заметим, что данный алгоритм можно обобщить на случай <tex>k</tex>-ичного кода антигрея. === Примеры работы алгоритма ===
{| class="wikitable"
!stylecolspan="2" align="width:45pxcenter"| n = 1 !stylecolspan="width:45px2" align="center"| n = 2 !colspan="3" align="center" style| n = 3|-!align="width:135pxcenter"| Первые <tex>3^{n -1}</tex><br>векторов !align= "center"|Коды антигрея !align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !align="center"|Коды антигрея !align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !colspan="2" align="center"|Коды антигрея|-| '''0''' || '''0''' || '''00''' || '''00''' || '''000''' || '''000''' || 200
|-
| 0 || 00 1 || 000 '''01''' || 010 11 || 020'''001''' || 111 || '''012'''
|-
| 1 || 11 2 || 111 '''02''' || 121 22 || 101'''002''' || 222 || 120
|-
| 2 || 22 || 222 || 202 '''01''' || 212'''010''' || '''001''' || 201
|-
| || 01 || 001 || 12 || '''011 ''' || 112 || 021'''020'''
|-
| || 12 || 112 || 122 20 || 102'''012''' || 220 || 101
|-
| || 20 || 220 || 200 '''02''' || 210'''020''' || '''002''' || 212
|-
| || 02 || 002 || 012 10 || 022'''021''' || 110 || '''021'''
|-
| || 10 || 110 || 120 21 || 100'''022''' || 221 || 102
|-
| || 21 || 221 || 201 || || '''010''' || 210|-| || || || || || 121 || '''022'''|-| || || || || || 202 || 100|-| || || || || || '''011''' || 211|-| || || || || || 122 ||
|}
=== Доказательство корректности алгоритма ===
Обозначим <tex>i</tex>-ый троичный вектор как <tex>G_i^0</tex>, его первый и второй циклический сдвиги как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex> соответственно. Получаем вектора в следующем порядке:
<tex >G_i^0</tex> и <tex>G_i^1</tex>, равно как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex>, отличаются во всех битах. <br>
Если говорить о векторах как о троичных числах, то <tex>G_{i+1}^0</tex> получено из <tex>G_i^0</tex> прибавлением единицы, это значит, что у <tex>G_{i+1}^0</tex> несколько разрядов справа на единицу больше (по модулю <tex>3</tex>), чем у <tex>G_i^0</tex> (по правилам сложения в столбик). С другой стороны <tex>G_{i}^2</tex> получено из <tex>G_{i}^0</tex> двумя циклическими сдвигами вперёд, что равносильно одному циклическому сдвигу назад. Таким образом, в числе <tex>G_{i+1}^0</tex> некоторые биты такие же, как в <tex>G_{i}^0</tex>, остальные на единицу больше; в числе <tex>G_{i}^2</tex> все биты на один меньше по сравнению с <tex>G_{i}^0</tex>, значит <tex>G_{i}^2</tex> и <tex>G_{i+1}^0</tex> различны во всех битах.
Подобные рассуждения можно провести для любого <tex>k</tex>-ичного кода антигрея, где <tex>k \ge geqslant 3</tex>.
== См. также ==
*[[Цепные коды]]
== Источники информации ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3AGray_code#AntiGray_code Wikipedia {{-Gray_Codes.3F Talk:--}} Gray Code - Wikipedia, the free encyclopediacode]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
