63
правки
Изменения
Нет описания правки
|about=Вычисление квадратичного характера числа по простому модулю
|statement=
<tex>\left(\cfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}</tex>, где <tex>\mu</tex> — чимло число отрицательных вычетов в ряде абсолютно-наименьших вычетов произведений <tex>1\cdot a,~2\ cdot a, \dots,~\frac{p-1}{2}\cdot a</tex> по модулю <tex>p</tex>.
|proof=
Пусть <tex>\pm \varepsilon_i</tex> — наименьший вычет для <tex>i \cdot a</tex>, где <texvarepsilon_i</tex> положительно. Когда <tex>i</tex> пробегает значения между 1 и <tex>\frac{p-1}{2}</tex>, <tex>\mu</tex> будет числом получившихся при этом знаков минус.<tex>\varepsilon_i\ne\varepsilon_j</tex>, при <tex>i\ne j</tex>. Перемножая сравнения <tex>1\cdot a \equiv \pm\varepsilon_1(mod~p),~2\cdot a \equiv \pm\varepsilon_2(mod~p), \dots, ~(\frac{p-1}{2})\cdot a \equiv \pm\varepsilon_{\frac{p-1}{2}}(mod~p)</tex>, получаем:
Значит <tex>a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\mu}(mod~p);~a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \left(\cfrac{a}{p}\right)~\Rightarrow ~ \left(\cfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}</tex>.
}}
==Квадратичный характер числа 2 по простому модулю==Итак, нас интересует <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)</tex>. В лемме Гаусса для числа 2, без учета требования того, что члены ряда - абсолютно-наименьшие, получим ряд <tex>2,4,\dots,p-1</tex>. Применяя опущенное требование получим, что все члены ряда, меньшие <tex>\frac{p}{2}</tex> останутся положительными, а остальные - станут отрицательными. Рассмотрим 4 случая:# <tex>p=1(mod~8)</tex># <tex>p=3(mod~8)</tex># <tex>p=5(mod~8)</tex># <tex>p=7(mod~8)</tex>* Перый случай: <tex>p=1(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=0 (mod~4)</tex>. Получается в лемме Гаусса количество чисел в ряде кратно 4. Рассмотрим два центральных числа - с номером <tex>\frac{p-1}{4}</tex>, и с номером <tex>\frac{p-1}{4}+1</tex>. Очевидно первое из них положительно, и равно <tex>\frac{p-1}{2}</tex>, а второе отрицательно, и равно <tex>\frac{p-1}{2}+2-p=\frac{p+3}{2}+p</tex>. Значит все числа делятся ровно пополам, и первые <tex>\frac{p-1}{4}</tex> из них - положительны, а остальные - отрицательны. Но так как <tex>\frac{p-1}{2}\vdots 4</tex>, то в каждой половине четное количество чисел, значит количество знаков "минус" в ряде четное, значит, по лемме Гаусса, <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right) =1</tex>.<br>* Второй случай: <tex>p=3(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=1 (mod~4)</tex>. Значит в лемме Гаусса количество чисел в ряде нечетно, причем если убрать одно число, то все остальные будут делиться на равные две части, количество чисел в каждой из которых - четно. Значит требуется узнать, является ли среднее число положительным, или отрицательным. Его номер <tex>\frac{\frac{p-1}{2}-1}{2}+1</tex>, следовательно оно равно <tex>\frac{p-1}{2}-1+2=\frac{p+1}{2}>\frac{p}{2}</tex> - значит оно отрицательно, то есть в ряде четное число положительных, и нечетное число отрицательных чисел, значит <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1</tex>.<br>* Третий случай: <tex>p=5(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=2 (mod~4)</tex>. Получаем ситуацию как в первом случае, с тем отличием, что в каждой половине ряда нечетное количество чисел - значит отрицательных чисел нечетное количество, и значит <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1</tex>.<br>* Четвертый случай: <tex>p=7(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=3 (mod~4)</tex>. Аналогично второму случаю, но при разбиение на две половины, количество чисел в каждой из них - нечетно. Число в середине так же получим отрицательное, значит всего отрицательных чисел четное количество, и <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)=1</tex>.<br>
[[Категория: Теория чисел]]
