[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
{{Теорема
|statement=
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
|proof=
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
}}
=== Алгоритм ===
==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
Найдём {{Теорема|statement=Каждое дерево имеет центр , состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин. |proof=Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева<tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.}} Собственно, действуя как алгоритм нахождения центра описан в доказанной выше теоремедоказательстве теоремы.
Будем удалять висячие вершины (или "обрезать листья"), пока в дереве не останется одна или две вершины — они и будут центрами.
