Изменения

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак'''('''sign'''), '''порядок''' ('''exponent''') и '''мантиссу'''('''mantis'''). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (<tex>0 </tex> - если число положительное, <tex>1 </tex> - если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса - в [[#Нормальная и нормализованная форма|нормализованном виде]], своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из <tex>16 </tex> двоичных разрядов:

'''Нормальной формой''' (''normal form'') числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, <tex>0,0001 </tex> можно записать в 4 формах — <tex>0,0001×100001</tex>×<tex>10</tex>^<tex>0</tex>, <tex>0,001×10001</tex>×<tex>10</tex>^{<tex>−1</tex>}, <tex>0,01×1001</tex>×<tex>10</tex>^{<tex>−2</tex>}, <tex>0,1×101</tex>×<tex>10</tex>^{<tex>−3</tex>}), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная'''(''normalized''), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от <tex>1 </tex> (включительно) до <tex>10 </tex> (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от <tex>1 </tex> (включительно) до <tex>2 </tex> (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме <tex>0</tex>) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа <tex>0 </tex> (а заодно и некоторых других [[#Особые значения чисел с плавающей точкой|полезных чисел]], таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «1»«<tex>1</tex>», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем <tex>2 </tex> (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).

'''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>16 </tex> бит или <tex>2 </tex> байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.

Порядок записан [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|со сдвигом]] '''<tex>-15</tex>'''. То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле <tex>2^{b-1}-1</tex>, где <tex>b</tex> - число бит, отведенное на хранение порядка (в случае числа половинной точности <tex>b=5</tex>).

* Целые от нуля до <tex>2048 </tex> передаются как есть.* Целые от <tex>2049 </tex> до <tex>4096 </tex> округляются к ближайшему чётному целому.* Целые от <tex>4097 </tex> до <tex>8192 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося нацело на 4четыре.* Целые от <tex>8193 </tex> до <tex>16384 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на 8восемь.* Целые от <tex>16385 </tex> до <tex>32768 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на 16шестнадцать.* Целые от <tex>32769 </tex> до <tex>65535 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на 32тридцать два.

'''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — <tex>32 </tex> бита или <tex>4 </tex> байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.

Порядок записан со сдвигом '''<tex>-127</tex>'''.

компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>64 </tex> бита или <tex>8 </tex> байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности.

Порядок записан со сдвигом '''<tex>-1023</tex>'''.

компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>128 </tex> бит или <tex>16 </tex> байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности.

Порядок записан со сдвигом '''<tex>-16383</tex>'''.

* <tex>(-1)^s\times1.M\times2^E</tex>, если <tex>E_{min} \le E \le E_{max}</tex> (''нормализованное число'')

* <tex>(-1)^s\times0.M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (''денормализованное число'')

e=<tex>3</tex>; m=<tex>4.734612 </tex> (порядок и мантисса первого числа) × e=<tex>5</tex>; m=<tex>5.417242 </tex> (порядок и мантисса второго числа)

e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.648538980104 </tex> (произведение как оно есть) e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.64854 </tex> (мантисса после округления) e=<tex>9</tex>; m=<tex>2.564854 </tex> (нормализованная форма)

Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате <tex>-269 </tex> <tex>7</tex>/<tex>32 </tex> и <tex>405,875</tex>. Переведем <tex>-269 </tex> <tex>7</tex>/<tex>32 </tex> в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления. <tex>-269 </tex> <tex>7</tex>/<tex>32 </tex> = <tex>-269,21875</tex> <tex>-269,21875</tex>_{<tex>10</tex>} = <tex>-100001101,00111</tex>_<tex>2</tex>

<tex>-100001101,00111 </tex> = <tex>-1,0000110100111 </tex> &times; <tex>10</tex>^{<tex>1000</tex>}

Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>}. E = <tex>8</tex>_{<tex>10</tex>} + <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>} = <tex>1000</tex>_<tex>2</tex> + <tex>1111111</tex>_<tex>2</tex> = <tex>10000111</tex>_<tex>2</tex>

<tex>1</tex><strong>10000111</strong><tex>00001101001110000000000 </tex> (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы - 23 бита).

<tex>405,87510 </tex> = <tex>110010101</tex>,<tex>111000000000011010</tex>..._<tex>2</tex> = <tex>1,10010101111000000000011010</tex>... &times; <tex>10</tex>^{<tex>1000</tex>} В качестве мантиссы будут сохранены первые <tex>23 </tex> бита после запятой т.е. <tex>10010101111000000000011</tex>.

<tex>0</tex><strong>10000111</strong><tex>10010101111000000000011</tex> Далее в арифметических операциях будет испльзоватся использоваться число <tex>110010101</tex>,<tex>111</tex>_<tex>2</tex>=<tex>405</tex>.<tex>875</tex>_{<tex>10</tex>}, а не <tex>110010101</tex>,<tex>111000000000011</tex>_<tex>2</tex>=<tex>405</tex>,<tex>87510</tex>_{<tex>10</tex>} видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).

<tex>1</tex>,<tex>1001010111100</tex>_<tex>2</tex> - <tex>1</tex>,<tex>0000110100111</tex>_<tex>2</tex> = <tex>0</tex>,<tex>1000100010101</tex>_<tex>2</tex>

<tex>0</tex><strong>10000110</strong><tex>00010001010100000000000</tex>

Найдем реальный порядок результата, вычтя из него значение смещения <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>}.

E = <tex>10000110</tex>_<tex>2</tex> - <tex>1111111</tex>_<tex>2</tex> = <tex>134</tex>_{<tex>10</tex>} - <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>} = <tex>7</tex>_{<tex>10</tex>} = <tex>111</tex>_<tex>2</tex>

A = <tex>1</tex>,<tex>000100010101 </tex> &times; <tex>10</tex>^{<tex>111</tex>} = <tex>10001000</tex>,<tex>10101</tex>_<tex>2</tex> = <tex>136</tex>,<tex>65625</tex>_{<tex>10</tex>}

Результат наших вычислений верен, так как <tex>405</tex>,<tex>875 </tex> - <tex>269</tex>,<tex>21875 </tex> = <tex>136</tex>,<tex>65625</tex>.

<P>Как видно из таблицы, величина это типа занимает в памяти <tex>8 </tex> байт. На

<center> <table border=1 CellSpacing{|class="0wikitable" CellPadding="2"> <tr><td>S</td><td>Смещенный !Знак || Смещённый порядок</td><td>|| Мантисса</td></tr> |-<tr><td> |63</td><td>|| 62..52</td><td>|| 51..0</td></tr> </table> |}

<tex>51</tex>, т.е. мантисса занимает младшие <tex>52 </tex> бита. Черта указывает здесь на

мантиссы, но поскольку она всегда равна <tex>1</tex>, здесь данный бит не требуется и

соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает <tex>11 </tex> бит и

имеет диапазон от <tex>2</tex>^{<tex>-1023</tex>} до <tex>2</tex>^{<tex>1023</tex>}, поэтому смещение равно <tex>1023</tex>_{(<tex>10</tex>)} =

<tex>1111111111</tex>_{(<tex>2</tex>)}. Наконец, бит с номером <tex>63 </tex> указывает на знак числа.</P>

мантисса (ее целая часть равна <tex>1</tex>_{(<tex>2</tex>)}) и <I>p</I>&nbsp;&#151; порядок, записанный в

<P><B>Пример.</B> Запишем код числа <tex>-312</tex>,<tex>3125</tex>.</P>

<LI>Двоичная запись модуля этого числа имеет вид <tex>100111000</tex>,<tex>0101</tex>.</LI>

<LI>Имеем <tex>100111000</tex>,<tex>0101 </tex> =

<tex>1</tex>,<tex>001110000101</tex>&nbsp;&times;&nbsp;<tex>2</tex>^<tex>8</tex>.</LI>

<LI>Получаем смещенный порядок <tex>8 </tex> + <tex>1023 </tex> = <tex>1031</tex>. Далее имеем

<tex>1031</tex>_{(<tex>10</tex>)} = <tex>10000000111</tex>_{(<tex>2</tex>)}.</LI>

<center> <table border=1 CellSpacing="0" CellPadding{|class="2wikitable"> <tr><td> | 1</td><td>|| 10000000111</td><td>|| 0011100001010000000000000000000000000000000000000000</td></tr> |-<tr><td> | 63</td><td>|| 62..52</td><td>|| 51..0</td></tr> |}

<centerOL>

<table border=1 CellSpacing{|class="wikitable" | 0 || 01111111110 || 1100011000000000000000000000000000000000000000000000 |- | 63 || 62..52 || 51..0" CellPadding="2"> |}

</tableLI>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в

разряде с номером <tex>63</centertex>записан нуль. Получим порядок этого числа:

<OLtex>01111111110</tex>_{(<tex>2</tex>)} = <tex>1022</tex>_{(<tex>10</tex>)}; <tex>1022</tex> - <tex>1023</tex> = <tex>-1</tex>.</LI>

<LI>Прежде всего замечаемЧисло имеет вид <tex>1</tex>, что это код положительного числа, поскольку в <tex>1100011</tex>&nbsp;&times;&nbsp;<tex>2</tex>^{<tex>-1</tex>} или

разряде с номером 63 записан нуль<tex>0</tex>,<tex>11100011</tex>. Получим порядок этого числа: </LI>

01111111110<subLI>(2)Переводом в десятичную систему счисления получаем <tex>0</subtex> = 1022,<subtex>(10)88671875</subtex>; 1022 - 1023 = -1.</LI>

0,11100011.</LIOL>

<LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем 0== См. также ==* [[Представление символов, таблицы кодировок]]* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом,88671875.</LI>дополнительный код]]