17
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg\ } v \geqslant n</tex> для любых двух различных несмежных вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированного графа]] <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы | гамильтонов граф]].
|proof=
Пусть <tex>u,v</tex> несмежные вершины в полученном графе <tex>G'</tex>. Если добавить ребро <tex>uv</tex>, появится гамильтонов цикл. Тогда путь <tex>(u,v)</tex> {{---}} гамильтонов.
Для вершин <tex>u,v</tex> выполнено <tex>\operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg\ } v \geqslant n.</tex>
По принципу Дирихле всегда найдутся две смежные вершины <tex> t_1,t_2</tex> на пути <tex>(u,v)</tex>, т.е. <tex>u..\dots t_1t_2..\dots v</tex> , такие, что существует ребро <tex>ut_2</tex> и ребро <tex>t_1v.</tex>
Действительно, пусть <tex>S=</tex> <tex>\{ i \mid e_i=ut_{i+1} \in EG \}</tex> и <tex>T = </tex> <tex>\{ i \mid f_i=t_iv \in EG \}</tex>
Имеем: <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg\ } v \geqslant n </tex>, но <tex>\left\vert S + T \right\vert < n.</tex>
Тогда <tex>\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert > 0</tex>, т. е. <tex>\exists i \mid ut_{i+1}\in EG</tex> и <tex> t_iv \in EG.</tex>
Получили противоречие, т. к. <tex>u..\dots t_1v..\dots t_2u</tex> {{---}} гамильтонов цикл.
}}
== См. также ==
* [[Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре]]
* [[Теорема Дирака]]
== Источники информации ==
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''
* Харари {{---}} Теория графов. '''ISBN 978-5-397-00622-4'''
