Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим функцию <tex>f(n) = U(n, n) + 1</tex>, где <tex>U(n, n)</tex> {{---}} [[Диагональный метод|универсальная функция]].
Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)</tex>. Это значит, что <tex>\Rightarrow f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex> и <tex>\forall n: \in \mathbb{N} \ g(n) \neq \bot </tex>.
По определению универсальной функции <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>. Тогда <tex>\Rightarrow g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>U(i, i) \neq \bot</tex>. Значит, определено значение <tex>f(i)</tex> и <tex>g(i) = f(i) = U(i, i) + 1</tex>. Получили противоречие.
Таким образом, построенная функция <tex>f(n)</tex> не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.
\end{cases}</tex>
Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)= U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>.
Поскольку <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>. всюду определена, то <tex>g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>U(i, i) \neq \bot</tex> и определено значение <tex>f(i)</tex>. Но по построению функции <tex>f(n)</tex> видим, что <tex>f(i) \neq U(i, i)</tex>. Получили противоречие.
}}
{{Теорема
|statement=
Существуют такие непересекающиеся перечислимые множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex>, что не существует таких разрешимых множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, что <tex>X' \subset X</tex>, <tex>Y' \subset Y</tex>, <tex>X \cap Y = \O</tex>, <tex>X \cup Y = \mathbb{N}</tex>. Такие множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex> называют '''неотделимыми'''(англ. ''inseparable sets'').
|proof=
Рассмотрим множества <tex>X' = \{n \mid f(n) = 0\}</tex> и <tex>Y' = \{n \mid f(n) = 1\}</tex>, где <tex>f(n)</tex> {{- --}} функция из леммы 2.
Пусть существуют <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, удовлетворяющие указанным свойствам. Тогда , тогда вычислима характеристическая функция множества <tex>Y</tex>, то есть функция <tex>g(n) = \begin{cases} 1 , & n \in Y \\ 0 , & n \notin Y (n \in X)\end{cases}</tex> множества <tex>Y</tex>.
Заметим, что <tex>g(n)</tex> всюду определена и является продолжением <tex>f(n)</tex>, что противоречит лемме 2.
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. с. 20, с. 68. ISBN 5-900916-36-7
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_inseparable_sets Wikipedia - Recursively inseparable sets]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
