Изменения
Нет описания правки
<tex dpi = "140"> !n=(n-1)[!(n-1)+!(n-2)] </tex>
Заметим, что если умножить <tex dpi = "140"> n </tex> на <tex dpi = "140"> !(n-1) </tex>, то получим часть второй формулы:
<tex dpi = "140"> !n=n \times !(n-1)-!(n-1)+(n-1) \ times !(n-2) </tex>
Распишем субфакториалы от <tex dpi = "140"> n-2 </tex> и <tex dpi = "140"> n-1 </tex>:
<tex dpi = "140"> (n-1) \times (n-2)!(\sum \limits_{k = 0}^{n-2}) \frac {(-1)^{k}}{k!}-(n-1)!(\sum \limits_{k = 0}^{n-1}) \frac {(-1)^{k}}{k!}=(-1)^{n} </tex><tex dpi = "140"> (n-1)!(\sum \limits_{k = 0}^{n-2}) \frac {(-1)^{k}}{k!}-(n-1)!((\sum \limits_{k = 0}^{n-2}) \frac {-1)^{k}}{k!}+ \frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}=(-1)^{n} </tex>
Субфакториалы от <tex dpi = "140"> n-2 </tex> сокращаются, остается верное равенство <tex dpi = "140"> -(-1)^{n-1}=(-1)^{n} </tex>
}}
