Изменения
Нет описания правки
* Также числа Стирлинга II рода можно определить как коэффициенты в разложении обычных степеней на факториальные: <tex dpi = "150">x^n = \sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} = \sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace (-1)^{n-k} x^{\overline{k}}</tex>, где <tex dpi = "150">x^{\underline{k}} = x\cdot (x-1)\cdot \ldots\cdot (x-k+1)</tex> — убывающий факториал, <tex dpi = "150">x^{\overline{k}} = x\cdot (x+1)\cdot \ldots\cdot (x+k-1)</tex> — возрастающий факториал. См. также [[Числа Стирлинга первого рода#Связь между числами Стирлинга | связь между числами Стирлинга]].
* {{Утверждение|statement=Кроме того, числа Стирлинга II рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней. Доказательство:|proof= <tex dpi = "150">x^{\underline{k+1}}=x^{\underline{k}}(x-k)</tex>, отсюда <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{k}}=x^{\underline{k+1}}+kx^{\underline{k}}</tex>, следовательно, <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{n-1}}</tex> есть:
<tex dpi = "150">x\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k+1}}+\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace x^{\underline{k}}+\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^n \textstyle (k\lbrace{n-1\atop k}\rbrace + \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace )x^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}}
}}
== Источники информации==
