48
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|about=о матожидании константы
|statement=Математическое ожидание числа есть само число. <tex>E(a) = a</tex>, где <tex>a \in R</tex> {{---}} константа.
}}
{{Утверждение
|about=о матожидании неравенств
|statement=Математическое ожидание сохраняет неравенства. Если <tex>0 \leqslant a \xi \leqslant b\eta</tex>, и <tex>b\eta</tex> {{---}} случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <tex>a\xi</tex> также конечно, и <tex>0 \leqslant E(a\xi) \leqslant E(b\eta)</tex>.
}}
{{Утверждение
|about=о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль
|statement=Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль. Если <tex>a \xi = b\eta</tex>, то <tex>E(a\xi) = E(b\eta)</tex>.
}}
{{Утверждение
|about=о матожидании произведениядвух независимых случайных величин|statement=Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин <tex>a</tex> и <tex>b</tex> равно произведению их математических ожиданий. <tex>E(a \xi \cdot b\eta) = E(a\xi) \cdot E(b\eta)</tex>
}}
==Линейность математического ожидания==
===Распределение Бернулли===
Случайная величина <tex>a\xi</tex> имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: <tex>1</tex> и <tex>0</tex> с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q \equiv 1-p</tex> соответственно. Таким образом:
:<tex>P(a \xi = 1) = p</tex>:<tex>P(a \xi = 0) = q</tex>
Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:
:<tex>E(a\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p</tex>
===Гипергеометрическое распределение===
Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из <tex>N</tex> элементов. Предположим, что <tex>D</tex> из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся <tex>N-D</tex> этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из <tex>n</tex> элементов. Пусть <tex>a</tex> {{---}} случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности <tex>a</tex> имеет вид:
:<tex>P_aP_\xi(k) \equiv P(a \xi = k) = \genfrac{}{}{1pt}{0}{C_D^k \cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}</tex>,
где <tex>C_n^k \equiv \genfrac{}{}{1pt}{0}{n!}{k! \cdot (n-k)!}</tex> обозначает биномиальный коэффициент.
Гипергеометрическое распределение обозначается <tex> a \xi \sim \mathrm{HG}(D,N,n)</tex>.
Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:
:<tex>E(a\xi) = \genfrac{}{}{1pt}{0}{n \cdot D}{N}</tex>
==Смотри также==
