Изменения

Сольем два массива и просто возьмем элемент с индексом <tex>k</tex> {{---}} <tex>1</tex>. Сливание будет выполнено за <tex>O(n + m)</tex> c использованием дополнительной памяти, что является существенным недостатком.

Будем использовать два указателя, с помощью которых сможем обойти массивы не сливая их. Поставим указатели на начало каждого из массивов. Будем увеличивать на единицу тот из них, который указывает на меньший элемент. После <tex>(k</tex> {{---}} <tex>1)</tex>-ого добавления сравним элементы, на которых стоят указатели. Меньший из них и будет ответом. Таким образом, мы получим <tex>k</tex>-ый элемент за <tex>O(k)</tex> шагов.

Рассмотрим следующую ситуацию: пусть у нас есть элемент <tex>a[i]</tex> из массива <tex>A</tex> и элемент <tex>b[j]</tex> из массива <tex>B</tex> и они связаны неравенством <tex>b[j</tex> {{---}} <tex>1] < a[i] < b[j]</tex>. Тогда <tex>a[i]</tex> есть <tex>(j + i + 1)</tex>-ый порядковый элемент после слияния массивов. Это объясняется тем, что до <tex>a[i]</tex>-ого элемента идут <tex>(j</tex> {{---}} <tex>1)</tex> элемент из массива <tex>B</tex>, <tex>i</tex> элементов из массива <tex>A</tex> (включая сам элемент <tex>a[i]</tex>). В итоге получаем <tex>(j</tex> {{---}} <tex>1) + i + 2 = j + i + 1</tex>. Принимая это во внимание, будем выбирать <tex>i</tex> и <tex>j</tex> таким образом, чтобы <tex>j + i + 1 = k</tex>.

# Инвариант <tex>j + i = k</tex> {{---}} <tex>1</tex># Если <tex>b[j</tex> {{---}} <tex>1] < a[i] < b[j]</tex>, то <tex>a[i]</tex> и есть <tex>k</tex>-ая порядковая статистика# Если <tex>a[i</tex> {{---}} <tex>1] < b[j] < a[i]</tex>, то <tex>b[j]</tex> и есть <tex>k</tex>-ая порядковая статистика

Будем использовать <tex>i</tex> и <tex>j</tex> как опорные точки для разделения массивов. Заметим, что если <tex>a[i] < b[j]</tex>, то <tex>a[i] < b[j</tex> {{---}} <tex>1]</tex> (иначе второе условие бы выполнялось). В таком случае на месте <tex>i</tex>-го элемента может стоять максимум <tex>i + (j</tex> {{---}} <tex>2) + 2 = (i + j)</tex>-ый порядковый элемент после слияния массивов (так произойдет в случае, когда <tex>a[i] > b[j</tex> {{---}} <tex>2]</tex>), а значит элемент с номером <tex>i</tex> и все до него в массиве <tex>A</tex> никогда не будут <tex>k</tex>-ой порядковой статистикой. Аналогично элемент с индексом <tex>j</tex> и все элементы, стоящие после него, в массиве <tex>B</tex> никогда не будут ответом, так как на позиции <tex>j</tex> будет стоять <tex>(i + j + 2)</tex>-ой порядковый элемент после слияния, порядковые номера остальных же будут еще больше. Таким образом, далее мы можем продолжать поиск в массиве <tex>A</tex> только в диапазоне индексов <tex>[i + 1, n</tex> {{---}} <tex>1]</tex>, а в массиве <tex>B</tex> {{---}} <tex>[0, j</tex> {{---}} <tex>1]</tex>. Также, если <tex>b[j] < a[i]</tex>, то <tex>b[j] < a[i</tex> {{---}} <tex>1]</tex>. Аналогичными рассуждениями приходим к тому, что в таком случае дальнейший поиск нужно осуществлять в массиве <tex>A</tex> в диапазоне <tex>[0, i</tex> {{---}} <tex>1]</tex>, в массиве <tex>B</tex> {{---}} <tex>[j + 1, m</tex> {{---}} <tex>1]</tex>.

В первом массиве выберем серединный элемент <tex>(i = n / 2)</tex> и бинпоиском найдем во втором массиве позицию <tex>j</tex>, на которой должен стоять (или стоит) элемент <tex>(a[i] - 1)</tex>. Если <tex>i + j = k - 2</tex>, то мы нашли <tex>k</tex>-ую порядковую статистику {{---}} это элемент <tex>a[i]</tex>. Иначе, если <tex>i + j > k - 2</tex>, то далее тем же способом ищем в массиве <tex>A</tex> в диапазоне индексов <tex>[0, i</tex> {{---}} <tex>1]</tex>, а если <tex>i + j < k - 2</tex>, то в диапазоне индексов <tex>[i + 1, n - 1]</tex>.