Изменения
→Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок
|definition= '''Неявное суффиксное дерево''' (англ. ''implicit suffix tree, IST'') строки <tex>S</tex> {{---}} это суффиксное дерево, построенное для строки <tex>S</tex> без добавления <tex>\$</tex>.}}
[[Файл:ExampleUkkonen2.png|400px|thumb|right|Пример построения суффиксного дерева алгоритмом Укконена.]]
Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста <tex>S = s_{1}s_{2}...\ldots s_{n}</tex>. На <tex>i</tex>-ой фазе неявное суффиксное дерево <tex>\tau_{i-1}</tex> для префикса <tex>s[1..\ldots i-1]</tex> достраивается до <tex>\tau_{i}</tex> для префикса <tex>s[1..\ldots i]</tex>. Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки <tex>s[1..\ldots i-1]</tex> необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ <tex>s_i</tex>.
Алгоритм состоит из <tex>n</tex> фаз. На каждой фазе происходит продление всех суффиксов текущего префикса строки, что требует <tex>O(n^2)</tex> времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма составляет <tex>O(n^3)</tex>.
== Продление суффиксов ==
Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа <tex>s_{i}</tex> ко всем суффиксам префикса <tex>s[1..\ldots i-1]</tex>.
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center" width=75%
!style="background:#f2f2f2"|Случай
|-
|style="background:#ffffff"|''1. Продление листа''
|style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается в листе. Добавим <tex>s_{i}</tex> в конец подстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen3.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff" rowspan="2" |''2. Ответвление''
|style="background:#ffffff"|а) Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_{i}</tex>. Создадим новый лист, в который из текущей вершины ведет ведёт дуга с пометкой <tex>s_{i}</tex>.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen4.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff"|б) Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается на ребре с меткой <tex>s[l..\ldots r]</tex> в позиции <tex>p-1(l \leqslant p \leqslant r)</tex> и <tex>s_{p} \ne s_{i}</tex>. Разобьем текущее ребро новой вершиной на <tex>s[l..\ldots p-1]</tex> и <tex>s[p..\ldots r]</tex> и подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной <tex>s_{i}</tex>.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen5.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff"|''3. Ничего не делать''
|style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k..\ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_{i}</tex>. Тогда ничего делать не надо.
|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen6.png|300px]]
|}
{{Определение
|definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, где <tex>x</tex> {{---}} ее её первый символ, а <tex>\alpha</tex> {{---}} оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой''' (англ. ''suffix link'').
}}
{{Лемма|id=l3
Для любой внутренней вершины <tex>v</tex> суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину <tex>u</tex>.
|proof=
Рассмотрим внутренную внутреннюю вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>s[j..\ldots i]</tex>. Так как эта вершина внутренняя, ее её путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока <tex>s[j+1..\ldots i]</tex> тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина <tex>u</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины <tex>v </tex> ведет ведёт в <tex> u</tex>.
}}
=== Использование суффиксных ссылок ===
[[Файл:ExampleUkkonen7.png|300px|thumb|right|Использование суффиксных ссылок.]]
Рассмотрим один такой переход, пусть мы применение суффиксных ссылок. Пусть только что продлили был продлён суффикс <tex>s[j..\ldots i-1]</tex> до суффикса <tex>s[j..\ldots i]</tex>. Теперь с помощью построенных ссылок найдем можно найти конец суффикса <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex>в суффиксном дереве, чтобы продлить его до суффикса <tex>s[j+1..\ldots i]</tex>. Пройдем Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины <tex>v</tex>, в которую ведет ведёт путь, помеченный <tex>s[j..\ldots r]</tex>. У вершины <tex>v</tex> точно есть суффиксная ссылка(о том, так как ссылка для внутренней вершины строится внутри фазы создания этой вершиныстроятся суффиксные ссылки, будет сказано позже, а пока можно просто поверить). Пусть Эта суффиксная ссылка ведет ведёт в вершину <tex>u</tex>, которой соответствует путь с пометкой , помеченный подстрокой <tex>s[j+1..\ldots r]</tex>. Теперь пройдем от вершины <tex>u</tex> следует пройти вниз по дереву к концу суффикса <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex>, и сделаем продление продлить его до суффикса <tex>s[j+1..\ldots i]</tex>.
=== Построение суффиксных ссылок ===
=== Оценка числа переходов ===
{{Определение
|definition= '''Глубиной вершины''' <tex>d(v)</tex> назовем число ребер рёбер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>.}}
{{Лемма|id=l4
|statement=
При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на <tex>1</tex>.
|proof=
[[Файл:ExampleUkkonen8.png|200px|center|]]
}}
{{Лемма|id=l5
|about=о числе переходов внутри фазы
|statement=
Число переходов по ребрам рёбрам внутри фазы номер <tex>i</tex> не превышает равно <tex>4iO(i)</tex>.
|proof=
Оценим количество переходов по ребрам рёбрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на <tex>1</tex>. Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на <tex>1</tex> (по лемме, доказанной выше). Значит в течение одной фазы вверх А потом высота увеличивается, пока мы переходим по рёбрам вниз. Так как высота не более может увеличиваться больше глубины дерева, а на каждой <tex>2ij</tex> раз. Но внутри одной фазы начальная глубина -ой итерации мы уменьшаем высоту не меньше конечной (так как длины суффиксов убывают до более, чем на <tex>12 </tex>), поэтому вниз мы могли пройти то суммарно высота не более может увеличиться больше чем на <tex>2i</tex> ребер. Итого получаем оценку , число переходов по рёбрам за одну фазу в сумме составляет <tex>4iO(i)</tex>.
}}
=== Асимтотика Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок ===
==Линейный алгоритм==
Чтобы улучшить время работы данного алгоритма до <tex>O(n)</tex>, нужно использовать линейное количество памяти, поэтому метка каждого ребра будет храниться как два числа {{---}} позиции ее её самого левого и самого правого символов в исходном тексте.
{{Лемма|id=l1
|about= Правило 3 заканчивает дело
|statement=
В любой фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении суффикса, начинающего в позиции <tex>j</tex>, оно же и будет реализовываться применяться во всех дальнейших продолжениях (от <tex>j+1</tex> по <tex>i+1</tex>) до конца фазы. <br>
|proof=
При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный <tex>s[j..\ldots i-1]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом <tex>i+1</tex>, и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>s[j+1..\ldots i-1]</tex>, поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex>j+1, \ j+2, ...\ldots, i+1</tex>.
}}
Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила.
Так как лист навсегда останется листом, зададим можно задать метку ребра ведущего в этот лист как <tex>s[j..\ldots x]</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс <tex>j</tex>. Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за <tex>O(1)</tex>.
=== Итоговая оценка времени работы ===
В течение работы алгоритма создается не более <tex>O(n)</tex> листов, так как в исходном тексте <tex>O(n)</tex> суффиксов. По вершин по [[Сжатое_суффиксное_дерево#Количество_вершин | леммео размере суффиксного дерева для строки]] внутренних вершин в дереве меньше чем листьев, следовательно, всего вершин в получившемся дереве будет <tex>O(n)</tex>. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря [[#l1|первой лемме]] на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за <tex>O(1)</tex>. Текущая фаза алгоритма идет пока мы явно не продлим все суффиксы или, по [[#l2|второй лемме]]будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. При явном продлении суффикса всегда создается новый листСначала неявно продлятся все листовые суффиксы, в котором он заканчиваетсяа потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, не сложно заметитьчем их есть, что этот суффикс то амортизационно на всех последующих итерация каждой фазе будет продлеваться по правилу 1(за создано <tex>O(1)</tex>), тогда вершин. Так как мы на всех <tex>n</tex> итерациях суммарно каждой фазе начинаем добавление суффикса не может быть сделано более с корня, а с индекса <tex>O(n)j*</tex> явных и неявных продлений, так же теперь мы не спускаемся от корня к концу первого суффикса на текущей итерации за <tex>O(n)</tex>котором в прошлой фазе было применено правило 3, а сразуто используя немного модифицированный вариант [[#l5 | леммы о числе переходов внутри фазы]] нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все <tex>O(1)n</tex>, начинаем его продление, тогда одна итерация в среднем будет выполняться за фаз равно <tex>O(1n)</tex>. Таким образом , при использовании всех приведенных приведённых эвристик, алгоритм Укконена работает за <tex>O(n)</tex>.
== Минусы алгоритма Укконена ==
# Константное время на одну итерацию {{---}} это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за <tex>O(n)</tex> времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно<ref>[https://books.google.ru/books?id=sGDXz53FwM4C&lpg=PP11&ots=utJ8jnql5h&dq=Dany%20Breslauer%2C%20Giuseppe%20F.%20Italiano%3A%20Near%20Real-Time%20Suffix%20Tree%20Construction%20via%20the%20Fringe%20Marked%20Ancestor%20Problem.&hl=ru&pg=PA156#v=onepage&q&f=false Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano {{---}} Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.]</ref>, хоть и строит дерево за <tex>O(n \log \log n)</tex>, но на одну итерацию в худшем случае тратит <tex>O(\log \log n)</tex> времени.
# На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, которые превосходят превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах<ref>[https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CFMQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FYuanyuan_Tian%2Fpublication%2F30848628_Practical_methods_for_constructing_suffix_trees%2Flinks%2F0046352b38e5dc849e000000.pdf&ei=Bh4sVZL8EIausAHujoDoBg&usg=AFQjCNEAr63t7zZnWZPKYIZLjQQInbelSg&sig2=jAPs1IULJvJZt8xwx5PYtA&bvm=bv.90491159,d.bGg&cad=rja Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel {{---}} Practical methods for constructing suffix trees.]</ref>.# Так же Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память, а при больших размерах входных . Если же требуется работать с большими размерами данных это может быть затруднительно, поэтому хотелось быто становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево было загружено "частично"в ней<ref>[http://arxiv.org/pdf/1012.4074.pdf Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee {{---}} A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.]</ref>.
== См. также==