Изменения

'''Замечание:''' важность наличия свойства коммутативности подчеркивает следующий контрпример. Известно, что умножение матриц не коммутативно. Возьмем блок <tex> b_0 </tex>, как показано на иллюстрации выше, со следующими значениями:

<tex> b b_0 = \begin{pmatrix} 27 & 32 \\ 42 & 50 \end{pmatrix} </tex> ,

<tex> a_1 a_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} </tex> ,

<tex> a_2 a_1 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} </tex> ,

<tex> a_3 a_2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} </tex>;.

Пусть необходимо изменить значение матрицы <tex> new a_1 </tex> <tex> a_2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>;на следующее:

<tex> a_2^{-1} newValue= </tex> <tex> new </tex> <tex> a_1 = \begin{pmatrix} 1,5 4 & -1 4 \\ -1 4 & 1 5 \end{pmatrix} </tex>;.

Тогда значения <tex> tmp = b * a_2a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 8</tex>,5 & 5 \\ 13 & 8 \end{pmatrix} <tex> tmp </tex> и новое значение <tex> a_1 </tex> ,таковы :

<tex> a_2 a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 4 1,5 & 4 -1 \\ 4 -1 & 5 1 \end{pmatrix} </tex>,

<tex> tmp = b \cdot a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 54 8,5 & 59 5 \\ 84 13 & 92 8 \end{pmatrix} </tex>.,

<tex> a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>. Тогда новое значение <tex> b_0 </tex> следующее:  <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 54 & 59 \\ 84 & 92 \end{pmatrix} </tex>. А должно получиться : <tex> b b_0 = \begin{pmatrix} 51 & 60 \\ 78 & 92 \end{pmatrix} </tex>. Противоречие. Значит, коммутативность важна.