418
правок
Изменения
→Топология диаграммы Вороного
Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(p_i)</tex> и <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \in P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.
Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>st</tex>. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. От точки <tex>a</tex> до точки <tex>b</tex> по рёбрам можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.
}}
