34
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{Определение
|definition= Пусть дан [[Определение матроида|матроид]] <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>. '''Ранговая функция ''' (англ: ''rank function)''' ) <tex>r: A \in 2^X \to Z_+\mathbb{N}</tex> определяется как: <tex>r(A) = \max \{ |B| : B \subset A, B \in I\}</tex>
}}
==Полумодулярность ранговой функции==
Докажем свойство полумодулярности (англ: ''submodularity'') ранговой функции: <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \le leqslant r(A) + r(B)</tex>. Для начала небольшая лемма.
{{Лемма
{{Теорема
|id=theorem
|statement=Пусть дан матроид <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>, тогда <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \le leqslant r(A) + r(B)</tex>
|proof=
Рассмотрим множество <tex>D_\cap \subset A \cap B : D_\cap \in I, |D_\cap| = r(A \cap B)</tex>, такое всегда существует по определению <tex>r</tex>. Дополним множество <tex>D_\cap</tex> элементами из <tex>B \setminus D_\cap</tex> до множества <tex>D_B : |D_B| = r (B), D_B \in I</tex> (по [[#lemma|лемме]] такое возможно).
Далее дополним <tex>D_B</tex> элементами из <tex>A \cup B \setminus D_B</tex> до множества <tex>D_\cup : |D_\cup| = r(A \cup B), D_\cup \in I</tex>. Заметим, что на последнем шаге будут добавляться только элемента из <tex>A</tex>, т.к. пусть на том этапе мы взяли <tex>x \in B</tex>, тогда <tex>\{x\} \cup D_B \subset D_\cup, D_\cup \in I </tex>, следовательно <tex>\{x\} \cup D_B \in I</tex> (по [[Определение матроида|определению матроида]]), а также<tex>|\{x\} \cup D_B| = |D_B| + 1 = r(B) + 1</tex>, что невозможно по определению <tex>r</tex>.
Заметим также, что
<tex>(D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap \subset A</tex>, <tex>(D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap \in I</tex>
(по [[Определение матроида|определению матроида]]), значит (по определению ранговой функции):
<tex>r(A) \ge geqslant |(D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap| = |D_\cup| - |D_B| + |D_\cap|</tex>
Заменяя мощности на ранги:
<tex>r(A) + r(B) \ge geqslant r(A \cup B) + r(A \cap B) </tex> Что и требовалось доказать.
}}
|statement=Пусть дан матроид <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>, и <tex>r: 2^X \to \{0\} \cup \mathbb{N}</tex> {{---}} его ранговая функция. Тогда для любых <tex>A, B \subseteq 2^X</tex> выполняется следующее:
#<tex> 0 \leqslant r(A) \leqslant |A| </tex>
#<tex> A \subseteq in B \Rightarrow r(A) \leqslant r(B) </tex>
#Неравенство полумодулярности: <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \leqslant r(A) + r(B)</tex>
|proof=
