34
правки
Изменения
Нет описания правки
|statement=[[Определение матроида|Матроид]], двойственный к [[Примеры матроидов|матричному]] над телом <tex>F</tex>, так же является матричным над телом <tex>F</tex>
|proof=
: Пусть <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> {{---}} произвольный матричный матроид над телом <tex>F</tex>, <tex> X = \{1,\ldots,m\} </tex>, <tex>r</tex> {{---}} его [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]]. Рассмотрим сначала крайний случай тривиального и (двойственного к нему) полного матроида.:* Матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> является тривиальным, если <tex>\mathcal{I} = \varnothing </tex>. :* Матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> является полным, если <tex>\mathcal{I} = 2^X</tex>.:Они, очевидно, представимы над телом <tex>F</tex> нулевой и единичной матрицей соответственно.
: Пусть теперь <tex>M</tex> {{---}} произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда <tex>M</tex> изоморфен матроиду столбцов некоторой <tex>(t \times m)</tex>-матрицы <tex>P</tex> над телом <tex>F</tex>. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то <tex>rg(P) = r</tex> и <tex>0 < r < m </tex>.
