34
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|statement=[[Определение матроида|Матроид]], двойственный к [[Примеры матроидов|матричному]] над телом <tex>F</tex>, так же является матричным над телом <tex>F</tex>
|proof=
: Пусть <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> {{---}} произвольный матричный матроид над телом <tex>F</tex>, <tex> X = \{1,\ldots,m\} </tex>, <tex>r</tex> {{---}} его [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]]. Рассмотрим сначала крайний случай [[Примеры матроидов|тривиального ]] и (двойственного к нему) [[Примеры матроидов|полного ]] матроида. Они, очевидно, представимы над телом <tex>F</tex> нулевой и единичной матрицей соответственно.
: Пусть теперь <tex>M</tex> {{---}} произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда <tex>M</tex> изоморфен матроиду столбцов некоторой <tex>(t \times m)</tex>-матрицы <tex>P</tex> над телом <tex>F</tex>. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то <tex>rg(P) = r</tex> и <tex>0 < r < m </tex>.
