251
правка
Изменения
добавлено См. также, мелкие фиксы
'''Дерево ван Эмде Боаса''' (англ. ''Van Emde Boas tree, vEB tree'') {{---}} структура данных, представляющая собой [[Дерево поиска, наивная реализация|дерево поиска]], позволяющее хранить целые неотрицательные числа в интервале <tex>[0;2^k)</tex> и осуществлять над ними все соответствующие дереву поиска операции.
Проще говоря, данная структура позволяет хранить <tex>k</tex>-битные числа и производить над ними операции <tex>\mathtt{find}</tex>, <tex>\mathtt{insert}</tex>, <tex>\mathtt{remove}</tex>, <tex>\mathtt{next}</tex>, <tex>\mathtt{prev}</tex>, <tex>\mathtt{min}</tex>, <tex>\mathtt{max}</tex> и некоторые другие операции, которые присущи всем деревьям поиска.
Особенностью этой структуры является то, что все операции выполняются за <tex>O(\log k)</tex>, что асимптотически лучше, чем <tex>O(\log n)</tex> в большинстве других деревьев поиска, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в дереве.
*максимальный и минимальный элементы, хранящиеся в этом дереве (если оно не является пустым), причем дополнительно в массиве <tex> chilren </tex> эти элементы хранить не будем.
Пусть у нас есть <tex>k</tex>-битное число <tex>x</tex>. Разобьем это число таким образом, что <tex>\mathtt{high(x)}</tex> {{---}} число, соответствующее <tex>k/2</tex> старшим битам числа <tex>x</tex>, а <tex>\mathtt{low(x)}</tex> соответствует <tex>k/2</tex> младшим битам. Тогда информация, хранится ли в данном дереве число <tex>x</tex>, эквивалентна информации, содержится ли в дереве <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex> число <tex>\mathtt{low(x)}</tex>.
Нетрудно увидеть, что высота подобного дерева <tex>\log_{2} k</tex>, так как каждый следующий уровень дерева содержит числа, количество битов в которых в 2 раза меньше, чем в предыдущем.
*если дерево пусто, то число не содержится в нашей структуре.
*если число равно полю <tex>min</tex> или <tex>max</tex>, то число в дереве есть.
*иначе ищем число <tex>\mathtt{low(x)}</tex> в поддереве <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex>.
<pre>
</pre>
Заметим, что выполняя операцию <tex>\mathtt{find}</tex>, мы либо спускаемся по дереву на один уровень ниже, либо, если нашли нужный нам элемент, выходим из нее. В худшем случае мы спустимся от корня до какого-нибудь 1-дерева, то есть выполним операцию <tex>\mathtt{find}</tex> столько раз, какова высота нашего дерева. На каждом уровне мы совершаем <tex>O(1)</tex> операций. Следовательно время работы <tex>O(\log k)</tex>.
=== insert ===
*иначе:
**если элемент <tex>x</tex> больше <tex>max</tex> или меньше <tex>min</tex> текущего дерева, то обновим соответствующее значение минимума или максимума, а старый минимум или максимум добавим в дерево.
**вставим во вспомогательное дерево <tex>aux</tex> число <tex>\mathtt{high(x)}</tex>, если соответствующее поддерево <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex> до этого было пусто.**вставим число <tex>\mathtt{low(x)}</tex> в поддерево <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex>, за исключением ситуации, когда текущее дерево {{---}} это 1-дерево, и дальнейшая вставка не требуется.
<pre>
</pre>
Нетрудно увидеть, что данная операция работает за время <tex>O(\log k)</tex>. На каждом уровне дерева мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций. После этого возможны 2 случая: поддерево <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex> пусто, и мы будем производить дальнейшую вставку и в него, и во вспомогательное дерево <tex>aux</tex>, или же поддерево не пусто, и мы просто спустимся на уровень ниже. Но если поддерево <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex> пусто, то вставка в него будет выполнена за <tex>O(1)</tex>, так как мы всего лишь обновим поля <tex>min</tex> и <tex>max</tex>. Все остальные операции будут выполнятся уже со вспомогательным деревом <tex>aux</tex>, высота которого на 1 уровень меньше, чем высота текущего. Если же поддерево <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex> не пусто, то мы просто перейдем к вставке элемента в это поддерево, высота которого так же на 1 меньше, чем у текущего. В итоге, каждый раз, выполнив <tex>O(1)</tex> операций, мы переходим к дереву, высота которого на 1 меньше, чем у текущего. Следовательно, количество операций пропорционально высоте дерева, которая, как уже было показано, <tex>O(\log k)</tex>. То есть операция вставки займет <tex>O(\log k)</tex> времени.
=== remove ===
Удаление из дерева также делится на несколько подзадач:
*если <tex> min = max = x </tex>, значит в дереве один элемент, удалим его и отметим, что дерево пусто.
*если <tex> x = min </tex>, то мы должны найти следующий минимальный элемент в этом дереве, присвоить <tex>min</tex> значение второго минимального элемента и удалить его из того места, где он хранится. Второй минимум {{---}} это либо <tex> max </tex>, либо <tex> children[aux.min].min </tex> (для случая <tex> x = max </tex> действуем аналогично).
*если же <tex> x \neq min </tex> и <tex> x \neq max </tex>, то мы должны удалить <tex>\mathtt{low(x)}</tex> из поддерева <tex>children[\mathtt{high(x)}]</tex>.Так как в поддеревьях хранятся не все биты исходных элементов, а только часть их, то для восстановления исходного числа, по имеющимся старшим и младшим битам, будем использовать функцию <tex> merge </tex>. Также нельзя забывать, что если мы удаляем последнее вхождение <tex>x</tex>, то мы должны удалить <tex>\mathtt{high(x)}</tex> из вспомогательного дерева.
<pre>
</pre>
Оценка времени работы операции <tex>\mathtt{remove}</tex> такая же, как и у операции <tex>\mathtt{insert}</tex>. На каждом уровне дерева мы совершаем <tex>O(1)</tex> операций и переходим к удалению элементов максимум в двух деревьях(в одном поддереве и во вспомогательном дереве), чьи высоты на один меньше текущей. Но если мы производим операцию удаления из вспомогательного дерева, значит удаление из поддерева потребовало <tex>O(1)</tex> операций, так как оно содержало всего один элемент. В итоге, количество операций пропорционально высоте дерева, то есть <tex>O(\log k)</tex>.
=== next и prev ===
*если дерево содержит не более двух элементов, и <tex> x < max </tex>, то искомый элемент <tex> max </tex>.
*если же в дереве более двух элементов, то:
**если в дереве есть еще числа, большие <tex> x </tex>, и чьи старшие биты равны <tex> \mathtt{high(x) } </tex>, то продолжим поиск в поддереве <tex> children[\mathtt{high(x)}] </tex>, где будем искать число, следующее после <tex> \mathtt{low(x) } </tex>.
**иначе искомым элементом является либо минимум следующего непустого поддерева, если такое есть, либо максимум текущего дерева в противном случае.
</pre>
Время работы, как и всех предыдущих функций, оценивается так же, и равно <tex>O(\log k)</tex>. Функция <tex> \mathtt{prev } </tex> реализуется аналогично.
== Преимущества и недостатки ==
=== Преимущества ===
Главным преимуществом данной структуры является ее быстродействие. Асимптотически время работы операций дерева ван Эмде Боаса лучше, чем, например, у [[АВЛ-дерево|АВЛ]], [[Красно-черное дерево|красно-черных]], [[2-3 дерево|2-3]], [[Splay-дерево|splay]] и [[Декартово дерево|декартовых]] деревьев уже при небольшом количестве элементов. Конечно, из-за довольно непростой реализации возникают немалые постоянные множители, которые снижают практическую эффективность данной структуры. Но все же, при большом количестве элементов, эффективность дерева ван Эмде Боаса проявляется и на практике, что позволяет нам использовать данную структуру не только как эффективное дерево поиска, но и в других задачах. Например:
*cортировка последовательности из <tex> n </tex> чисел. Вставим элементы в дерево, найдем минимум и <tex> n - 1</tex> раз вызовем функцию <tex> \mathtt{next } </tex>. Так как все операции занимают не более <tex> O(\log k)</tex> времени, то итоговая асимптотика алгоритма <tex> O(n \cdot \log k)</tex>, что даже лучше, чем [[Цифровая сортировка|цифровая сортировка]], асимптотика которой <tex> O(n \cdot k)</tex>.
*[[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]]. Данный алгоритм с использованием [[Двоичная куча|двоичной кучи]] для поиска минимума работает за <tex> O(E \cdot \log V)</tex>, где <tex> V </tex> {{---}} количество вершин в графе, а <tex> E </tex> {{---}} количество ребер между ними. Если же вместо кучи использовать дерево ван Эмде Боаса, то релаксация и поиск минимума будут занимать уже не <tex> \log V </tex>, а <tex> \log k </tex>, и итоговая асимптотика этого алгоритма снизится до <tex> O(E \cdot \log k)</tex>.
*другим серьезным недостатком является количество занимаемой памяти. Дерево, хранящее <tex> k </tex>-битные числа, занимает <tex> O(2^k) </tex> памяти, что несложно доказывается индукцией, учитывая, что <tex> S(2^k)=(2^{k/2} + 1) \cdot S(2^{k/2}) + O(2^{k/2})</tex>, где <tex> S(2^i) </tex> {{---}} количество памяти, занимаемое деревом, в котором хранятся <tex> i </tex>-битные числа. Впрочем, можно попытаться частично избежать огромного расхода памяти, создавая необходимые поддеревья «лениво», то есть только тогда, когда они нам потребуются.
==См. также==* [[Поисковые структуры данных]]* [[Дерево поиска, наивная реализация|Дерево поиска]]* [[Алгоритм Дейкстры]] == Источники информации ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Van_Emde_Boas_tree Van Emde Boas tree — Wikipedia]
