Изменения

Пусть поддеревьев с ключами <tex>\leqslant x</tex> оказалось больше, чем поддеревьев с ключами <tex>> x</tex>. Докажем для них логарифмическую асимптотику. Мы запускаем балансировку от высот деревьев <tex>(H - H_{1}) + (H_{1} - H_{2}) + (H_{2} - H_{3}) + \cdots + (H_{k - 1} - H_{k}) = H - H_{k} = O(\log{n})</tex>, где <tex>H_{t}, t = 1 \cdots k</tex> - высоты поддеревьев, которые мы вставили и после которых должны произвести балансировку. Дерево на последнем уровне имеет высоту <tex>H_{k}</tex> (она может быть не равна <tex>1</tex>, если мы придём в <tex>x</tex>). Его мы передаем наверх и вставляем в поддерево высотой <tex>H_{k-1}</tex>. <tex>H_{k} \leqslant H_{k-1}</tex>, так как разница высот поддеревьев у любой вершины не больше <tex>1</tex>, и мы при переходе от <tex>H_{k}</tex> к <tex>H_{k-1}</tex> поднимаемся как минимум на одну вершину вверх. Слияние этих поддеревьев мы выполним за <tex>H_{k-1} - <tex>H_{k}</tex></tex>, получим в итоге дерево высоты не большей, чем <tex>H_{k-1}</tex>. Его мы передадим наверх, поэтому в следующий раз слияние будет выполнено за <tex>H_{k-2} - H_{k - 1}</tex> и так далее. Таким образом мы получим <tex>(H - H_{1}) + (H_{1} - H_{2}) + (H_{2} - H_{3}) + \cdots + (H_{k - 1} - H_{k}) = H - H_{k} = O(\log{n})</tex>.