Изменения

Этот алгоритм является модификацией алгоритма [[Поиск k-ой порядковой статистики|поиска k-ой порядковой статистики]]. Важное отличие заключается в том, что время работы алгоритма в наихудшем случае — <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — количество элементов в множестве. Главная идея алгоритма заключается в том, чтобы ''гарантировать'' хорошее разбиение массива. Алгоритм выбирает такой рассекающий элемент, что количество чисел, которые меньше рассекающего элемента, не менее <texdpi = "170">\frac{3n}{10}</tex>. Элементов же больших опорного элемента, также не менее <tex dpi = "170">\frac{3n}{10}</tex>. Благодаря этому алгоритм работает за линейное время в любом случае.

На рисунке обозначены закрашенные области, в левом верхнем и в правом нижнем углах. В эти области попали все элементы, которые точно меньше или больше рассекающего элемента, соответственно. В каждой области по <tex> 8 </tex> элементов, всего же в массиве <tex> 25 </tex>, то есть мы получили хорошее (то есть соответствующее нашему утверждению) разбиение массива относительно опорного элемента, так как <tex> 8 > </tex> <tex dpi = "170"> \frac{3 \cdot 25}{10}</tex>. Теперь докажем, что алгоритм также хорошо выбирает опорный элемент и в общем случае.

Cначала определим нижнюю границу для количества элементов, превышающих по величине рассекающий элемент <tex>x</tex>. В общем случае как минимум половина медиан, найденных на втором шаге, больше или равны медианы медиан <tex>x</tex>. Таким образом, как минимум <tex>n / 10</tex> групп содержат по <tex>3</tex> превышающих величину <tex>x</tex>, за исключение группы, в которой меньше <tex>5</tex> элементов и ещё одной группы, содержащей сам элемент <tex>x</tex>. Таким образом получаем, что количество элементов больших <tex>x</tex>, не менее <texdpi = "170">\frac{3n}{10}</tex>.

Проведя аналогичные рассуждения для элементов, которые меньше по величине, чем рассекающий элемент <tex>x</tex>, мы получим, что как минимум <texdpi = "170">\frac{3n}{10}</tex> меньше, чем элемент <tex>x</tex>. Теперь проведем анализ времени работы алгоритма.

# времени работы для поиска медианы медиан, то есть <tex>T(</tex><tex dpi = "170">\frac{n}{5}</tex> <tex>)</tex>;# времени работы для поиска <tex>k</tex>-го элемента в одной из двух частей массива, то есть <tex>T(s)</tex>, где <tex>s</tex> — количество элементов в этой части. Но <tex>s</tex> не превосходит <texdpi = "170">\frac{7n}{10}</tex>, так как чисел, меньших рассекающего элемента, не менее <texdpi = "170">\frac{3n}{10}</tex> — это <texdpi = "170">\frac{n}{10}</tex> медиан, меньших медианы медиан, плюс не менее <texdpi = "170">\frac{2n}{10}</tex> элементов, меньших этих медиан. С другой стороны, чисел, больших рассекающего элемента, так же не менее <texdpi = "170">\frac{3n}{10}</tex>, следовательно <tex> s \le </tex> <tex dpi = "170">\frac{7n}{10}</tex>, то есть в худшем случае <tex> s = </tex> <tex dpi = "170">\frac{7n}{10}</tex>.

<tex>T(n) \le T(</tex><tex dpi = "170">\frac{n}{5}</tex><tex>) + T(</tex><tex dpi = "170">\frac{7n}{10}</tex><tex>) + Cn </tex>

# Тогда, по предположению индукции, <tex>T(</tex><tex dpi = "170">\frac{n}{5}</tex><tex>) \le 10C</tex><tex dpi = "170">\frac{n}{5} </tex><tex> = 2Cn</tex> и <tex> T(</tex><tex dpi = "170">\frac{7n}{10}</tex><tex>) \le 10C</tex><tex dpi = "170">\frac{7n}{10} </tex><tex> = 7Cn</tex>, тогда<tex>T(n) \le T(</tex><tex dpi = "170">\frac{n}{5}</tex><tex>) + T(</tex><tex dpi = "170">\frac{7n}{10}</tex><tex>) + Cn = 2Cn + 7Cn + Cn = 10Cn \Rightarrow T(n) \le 10Cn</tex>