Изменения
Циклы де Брёна
Каждый шаг выполняется за <tex>O(1)</tex>, поэтому всего потребуется <tex>O(1)</tex> времени, чтобы найти индекс.
== Циклы де Брёйна ==
'''Последовательность де Брёйна''' {{---}} последовательность <math>a_1,\;\ldots,\;a_t</math>, элементы которой принадлежат заданному конечному множеству (обычно рассматривают множество <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>), и все подпоследовательности <math>a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}</math> заданной длины <math>n</math> различны.
Часто рассматриваются периодические последовательности с периодом <math>T</math>, содержащие <math>T</math> различных подпоследовательностей <math>a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}</math>, {{---}} то есть такие периодические последовательности, в которых любой отрезок длины <math>T+n-1</math> является последовательностью де Брёйна с теми же параметрами <math>n</math> и <math>k</math>.
=== Свойства ===
Очевидно, что длина (период) такого цикла не может превосходить <math>k^n</math> {{---}} числа́ всех различных векторов длины <math>n</math> с элементами из <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>; несложно доказать, что эта оценка достигается. Циклы этой максимально возможной длины обычно называют '''циклами де Брёйна''' (впрочем, иногда этот термин применяют и к циклам меньшей длины).
При <math>k=2</math> существуют такие циклы де Брёйна с длиной, на единицу меньшей максимума, которые выражаются линейными рекуррентными соотношениями порядка <math>n</math>: так, при <math>n=3</math> соотношение <math>x_n=x_{n-2}+x_{n-3}\pmod 2</math> порождает последовательности с периодом 7, например 0010111001011100… (цикл де Брёйна 0010111). На основе таких последовательностей построен, в частности, циклический избыточный код.
=== Примеры ===
Примеры циклов де Брёйна для <math>k=2</math> с периодом 2, 4, 8, 16:
* 01 (содержит подпоследовательности 0 и 1)
* 0011 (содержит подпоследовательности 00, 01, 11, 10)
* 00010111 (000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100)
* 0000100110101111
=== Граф де Брёйна ===
Существует удобная интерпретация последовательностей и циклов де Брёйна, основанная на так называемом '''графе де Брёйна''' {{---}} ориентированном графе с <math>k^n</math> вершинами, соответствующими <math>k^n</math> различных наборов длины <math>n</math> с элементами из <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>, в котором из вершины <math>(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> в вершину <math>(y_1,\;\ldots,\;y_n)</math> ребро ведёт в том и только том случае, когда <math>x_i=y_{i-1}</math> (<math>i=2,\;\ldots,\;n</math>); при этом самому ребру можно сопоставить набор длины <math>n+1</math>: <math>(x_1,\;\ldots,\;x_n,\;y_n)=(x_1,\;y_1,\;\ldots,\;y_n)</math>. Для такого графа не проходящие дважды через одно и то же ребро эйлеровы пути (эйлеровы циклы) соответствуют последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами <math>n+1</math> и <math>k</math>, а не проходящие дважды через одну и ту же вершину гамильтоновы пути (гамильтоновы циклы) {{---}} последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами <math>n</math> и <math>k</math>.
Граф де Брёйна широко применяется в биоинформатике в задачах сборки генома.
== Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fusion_tree Wikipedia — Fusion tree]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn_sequence Wikipedia — De Bruijn sequence]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Деревья поиска]]
