Изменения

Algorithm Sort(<tex dpi="130">k \log\log nSort(advantage</tex>, <tex dpi="130">level</tex>, <tex dpi="130">a_{0}</tex>, <tex dpi="130">a_{1}</tex>, <tex dpi="130">\ldots</tex>, <tex dpi="130">a_{t}</tex>)

<tex dpi="130">k \log\log nadvantage</tex> {{---}} это неконсервативное преимуществоравное <tex>k\log\log n</tex>, <tex dpi="130">a_{i}</tex>-ые это входящие целые числа в наборе, которые надо отсортировать, <tex dpi="130">level</tex> это уровень рекурсии.

# Если <tex dpi="130">(level == </tex> равен <tex>1)</tex> тогда изучаем размер набора. Если размер меньше или равен <tex dpi="130">\sqrt{n}</tex>, то <tex dpi="130">return</tex>. Иначе делим этот набор в <tex dpi="130">\leqslant</tex> 3 набора, используя [[#lemma2|лемму №2]], чтобы найти медиану, а затем используем [[#lemma5|лемму №5]] для сортировки. Для набора, где все элементы равны медиане, не рассматриваем текущий блок и текущим блоком делаем следующий. Создаем маркер, являющийся номером набора для каждого из чисел (0, 1 или 2). Затем направляем маркер для каждого числа назад к месту, где число находилось в начале. Также направляем двубитное число для каждого входного числа, указывающее на текущий блок.

## Вызываем Sort(<tex dpi="130">k \log\log nSort(advantage</tex>, <tex dpi="130">level - 1</tex>, <tex dpi="130">a^{(u)}_{0}</tex>, <tex dpi="130">a^{(u)}_{1}</tex>, <tex dpi="130">\ldots</tex>, <tex dpi="130">a^{(u)}_{t}</tex>). Когда алгоритм возвращается из этой рекурсии, маркер, показывающий для каждого числа, к какому набору это число относится, уже направлен назад к месту, где число находится во входных данных. Число, имеющее наибольшее число бит в <tex dpi="130">a_{i}</tex>, показывающее на текущий блок в нем, так же направлено назад к <tex dpi="130">a_{i}</tex>.

Call Sort(<tex dpi="130">k \log\log nSort(advantage</tex>, <tex dpi="130">\log_{k}((\log n)/4)</tex>, <tex dpi="130">a_{0}</tex>, <tex dpi="130">a_{1}</tex>, <tex dpi="130">\ldots</tex>, <tex dpi="130">a_{n - 1}</tex>);

# Помещаем <tex dpi="130">a_{i}</tex> в соответствующий набор с помощью блочной сортировки (англ. ''bucket sort''), потому что наборов около <tex dpi="130">\sqrt{n}</tex>.# Для каждого набора <tex dpi="130">S = </tex>{<tex dpi="130">a_{i_{0}}, a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{t}}</tex>}, если <tex dpi="130">t > \sqrt{n}</tex>, вызываем Sort(<tex dpi="130">k \log\log nSort(advantage</tex>, <tex dpi="150130">\log_{k}(\frac{\log n}{4})</tex>, <tex dpi="130">a_{i_{0}}, a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{t}}</tex>).

==Signature sortingСортировка по ключу==

Также рассмотрим проблему последующего разделения. Пусть <tex dpi="130">a_{1}</tex>, <tex dpi="130">a_{2}</tex>, <tex dpi="130">\ldots</tex>, <tex dpi="130">a_{p}</tex> {{---}} <tex dpi="130">p</tex> чисел и <tex dpi="130">S</tex> {{---}} множество чисeл. Необходимо разделить <tex dpi="130">S</tex> в <tex dpi="130">p + 1</tex> наборов, таких, что: <tex dpi="130">S_{0} < a_{1} < S_{1} < a_{2} < \ldots < a_{p} < S_{p}</tex>. Так как используется '''сортировка по ключу''' (англ. ''signature sorting''' ) то перед тем, как делать вышеописанное разделение, необходимо поделить биты в <tex dpi="130">a_{i}</tex> на <tex dpi="130">h</tex> сегментов и взять некоторые из них. Так же делим биты для каждого числа из <tex dpi="130">S</tex> и оставляем только один в каждом числе. По существу, для каждого <tex dpi="130">a_{i}</tex> берутся все <tex dpi="130">h</tex> сегментов. Если соответствующие сегменты <tex dpi="130">a_{i}</tex> и <tex dpi="130">a_{j}</tex> совпадают, то нам понадобится только один. Сегмент, который берется для числа в <tex dpi="130">S</tex> это сегмент, который выделяется из <tex dpi="130">a_{i}</tex>. Таким образом, начальная задача о разделении <tex dpi="130">n</tex> чисел по <tex dpi="130">\log m</tex> бит преобразуется в несколько задач на разделение с числами по <tex dpi="150">\frac{\log m}{h}</tex> бит.

Использование '''сортировки по ключу''' в данном алгоритме: Есть набор <tex dpi="130">T</tex> из <tex dpi="130">p</tex> чисел, которые отсортированы как <tex dpi="130">a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p}</tex>. Используем числа в <tex dpi="130">T</tex> для разделения набора <tex dpi="130">S</tex> из <tex dpi="130">q</tex> чисел <tex dpi="130">b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{q}</tex> в <tex dpi="130">p + 1</tex> наборов <tex dpi="130">S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{p}</tex>. Пусть <tex dpi="150">h = \frac{\log n}{c \log p}</tex> для константы <tex dpi="130">c > 1</tex>. (<tex dpi="150">\frac{h}{\log\log n \log p}</tex>)-битные числа могут храниться в одном контейнере, содержащим <tex dpi="150">\frac{\log n}{c \log\log n}</tex> бит. Сначала рассматриваем биты в каждом <tex dpi="130">a_{i}</tex> и каждом <tex dpi="130">b_{i}</tex> как сегменты одинаковой длины <tex dpi="150">\frac{h} {\log\log n}</tex>. Рассматриваем сегменты как числа. Чтобы получить неконсервативное преимущество для сортировки, числа в этих контейнерах (<tex dpi="130">a_{i}</tex>-ом и <tex dpi="130">b_{i}</tex>-ом) хешируются, и получается <tex dpi="150">\frac{h}{\log\log n}</tex> хешированных значений в одном контейнере. При вычислении хеш-значений сегменты не влияют друг на друга, можно даже отделить четные и нечетные сегменты в два контейнера. Не умаляя общности считаем, что хеш-значения считаются за константное время. Затем, посчитав значения, два контейнера объединяем в один. Пусть <tex dpi="130">a'_{i}</tex> {{---}} хеш-контейнер для <tex dpi="130">a_{i}</tex>, аналогично <tex dpi="130">b'_{i}</tex>. В сумме хеш-значения имеют <tex dpi="150">\frac{2 \log n}{c \log\log n}</tex> бит, хотя эти значения разделены на сегменты по <tex dpi="150">\frac{h}{ \log\log n}</tex> бит в каждом контейнере. Между сегментами получаются пустоты, которые забиваются нулями. Сначала упаковываются все сегменты в <tex dpi="150">\frac{2 \log n}{c \log\log n}</tex> бит. Потом рассматривается каждый хеш-контейнер как число, и эти хеш-контейнеры сортируются за линейное время (сортировка будет рассмотрена чуть позже). После этой сортировки биты в <tex dpi="130">a_{i}</tex> и <tex dpi="130">b_{i}</tex> разрезаны на <tex dpi="150">\frac{\log\log n}{h}</tex> сегментов. Таким образом, получилось дополнительное мультипликативное преимущество (англ. ''additional multiplicative advantage'') в <tex dpi="150">\frac{h} {\log\log n}</tex> (additional multiplicative advantage).

Procedure Операция '''сортировки за линейное время''' (англ. ''Linear-Time-Sort''')

Так как <tex dpi="130">q</tex> чисел не надо полностью сортировать и <tex dpi="130">q = p^2</tex>, то можно использовать [[#lemma6|лемму №6]] для сортировки. Для этого необходимо неконсервативное преимущество, которое получается с помощью [[Сортировка Хана#Signature sorting|signature sorting]]. Для этого используется линейная техника многократного деления (англ. ''multi-dividing technique'').

* [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S019667740300155X Deterministic Sorting in O(n \log\log n) Time and Linear Space. Yijie Han.]