1679
правок
Изменения
м
Новая страница: «Лекция от 06.09.10. Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано …»
Лекция от 06.09.10.
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "совокупность обьектов, обьединенных общим свойством".
В математическом анализе используется "наивная" теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
a ∈ A (обьект а принадлежит множеству А)
a ∉ A (обьект а не принадлежит множеству А)
Задание множеств:
1) Перечислением элементов: A = {a1, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>}
2) Заданием определенного свойства обьектов: A = {a: P}, где P - определенное свойство обьекта а
Операции:
1) A ⊂ B (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В; ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B);
2) A ∩ B (Пересечение множеств А и В: (x ∈ A) ∧ (x ∈ B));
3) A ∪ B (Обьединение множеств А и В: (x ∈ A) ∨ (x ∈ B));
4) B \ A (Разность множеств: (x ∈ B) ∧ (x ∉ A));
5) ∅ - пустое множество. A ∪ ∅ = A;
A ∩ ∅ = ∅;
∀ A: ∅ ⊂ A
<math>\bigcup_{\alpha\in W} A_\alpha</math> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
<math>\bigcup_{j \in R} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </math> ...
<math> \bigcup_{0 < x < 1} A_x </math>
<math> \bigcap_{\alpha \in W} A_{\alpha} </math> и так далее.
A, B, C, ... ⊂ U - "множество всего".
<math>\overline{A} = U </math> \ <math> A</math> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
Теорема(Де-Морган):
<math>\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} </math>
<math>\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; </math>
<tex>\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} </tex>
<tex>\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; </tex>
<amsmath>
\label{e:barwq}\begin{split}
H_c&=\frac{1}{2n} \sum^n_{l=0}(-1)^{l}(n-{l})^{p-2}
\sum_{l _1+\dots+ l _p=l}\prod^p_{i=1} \binom{n_i}{l _i}\\
&\quad\cdot[(n-l )-(n_i-l _i)]^{n_i-l _i}\\
&\quad\cdot
\Bigl[(n-l )^2-\sum^p_{j=1}(n_i-l _i)^2\Bigr].
\end{split}
</amsmath>
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "совокупность обьектов, обьединенных общим свойством".
В математическом анализе используется "наивная" теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
a ∈ A (обьект а принадлежит множеству А)
a ∉ A (обьект а не принадлежит множеству А)
Задание множеств:
1) Перечислением элементов: A = {a1, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>}
2) Заданием определенного свойства обьектов: A = {a: P}, где P - определенное свойство обьекта а
Операции:
1) A ⊂ B (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В; ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B);
2) A ∩ B (Пересечение множеств А и В: (x ∈ A) ∧ (x ∈ B));
3) A ∪ B (Обьединение множеств А и В: (x ∈ A) ∨ (x ∈ B));
4) B \ A (Разность множеств: (x ∈ B) ∧ (x ∉ A));
5) ∅ - пустое множество. A ∪ ∅ = A;
A ∩ ∅ = ∅;
∀ A: ∅ ⊂ A
<math>\bigcup_{\alpha\in W} A_\alpha</math> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
<math>\bigcup_{j \in R} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </math> ...
<math> \bigcup_{0 < x < 1} A_x </math>
<math> \bigcap_{\alpha \in W} A_{\alpha} </math> и так далее.
A, B, C, ... ⊂ U - "множество всего".
<math>\overline{A} = U </math> \ <math> A</math> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
Теорема(Де-Морган):
<math>\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} </math>
<math>\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; </math>
<tex>\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} </tex>
<tex>\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; </tex>
<amsmath>
\label{e:barwq}\begin{split}
H_c&=\frac{1}{2n} \sum^n_{l=0}(-1)^{l}(n-{l})^{p-2}
\sum_{l _1+\dots+ l _p=l}\prod^p_{i=1} \binom{n_i}{l _i}\\
&\quad\cdot[(n-l )-(n_i-l _i)]^{n_i-l _i}\\
&\quad\cdot
\Bigl[(n-l )^2-\sum^p_{j=1}(n_i-l _i)^2\Bigr].
\end{split}
</amsmath>
