102
правки
Изменения
Нет описания правки
Множество подобных запросов делаются за время <tex>O(\log^2{n})</tex> с помощью Heavy-light декомпозиции.
==Описание декомпозиции==
[[Файл:Heavylight.png|thumb|right|300x150px800x280px|Пример разбиения на лёгкие/тяжёлые рёбра.]]
Декомпозиция заключается в классификации всех рёбер дерева <tex>T</tex> в 2 вида: легкие и тяжёлые. Введём функцию <tex>s(v)</tex>, которая будет обозначать размер поддерева вершины <tex>v</tex>.
Очевидно, что из вершины может выходить как максимум одно тяжёлое ребро, т.к. иначе у нас есть два поддерева по как минимум <tex dpi="150">\frac{s(u)}{2}</tex> вершин, а также сама вершина <tex>u</tex>. Итого <tex>s(u) + 1</tex> вершин, тогда как у нас всего <tex>s(u)</tex> вершин в поддереве.
Теперь рассмотрим вершины, из которых не ведет ни одно тяжёлое ребро. Будем идти от них вверх до корня или пока не пройдем легкое ребро. Получится какое-то множество путей. Утверждается, что оно будет являться искомыми корректным.
Существует вариант Heavy-light декомпозиции на вершинно-непересекающихся путях. Чтобы получить такой путь нужно всего-лишь выкинуть последнее ребро из всех путей в рёберно-непересекающейся декомпозиции. Это может быть удобно при решении задач, где веса находятся не на рёбрах, а на вершинах и соответствующие запросы также делаются на вершинах.
==Доказательство корректности полученной декомпозиции==
{{Утверждение
