Изменения

<tex> \sum\limits_{\substack{i, j = 1\\ i \ne j}}^{k} n_i n_j \ge \sum\limits_{\substack{i, j = 1\\ i \ne j}}^{k} 1 \cdot n_j = \sum\limits_{j = 1}^{k} (k - 1) n_j = (k - 1) (n - 1) \ge \fracdfrac{nk}{4}</tex>

Значит, при <tex> a \ge \fracdfrac{c}{2} \fracdfrac{n}{\fracdfrac{nk}{4}} = \fracdfrac{2c}{k} </tex> требуемое неравенство будет выполняться.