Изменения

<center><tex>P_\sigma P_\pi = P_{\sigma pi \circ \pisigma}</tex></center>

эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в <tex>i</tex> - той строчке на <tex>k</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\sigma</tex> и в <tex>k</tex> - той строчке на <tex>j</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\pi</tex> стоят единицы. <tex>{P_\sigma}_{i,k} = 1</tex> значит, что в перестановке <tex>\sigma</tex> на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, и <tex>{P_\pi}_{k,j} = 1</tex> означает что в перестановке <tex>\pi</tex> на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, а <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex> означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>. Но также известно, что если умножить перестановку <tex>(\pi \circ \sigma</tex>, где на <tex>)(i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, на перестановку <tex>) = \pi</tex>, где на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, то в полученной перестановке <tex>{(\sigma \circ \pi}</tex> на <tex>(i</tex> - том месте будет стоять элемент <tex>)) = j</tex>. В результате если <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex>, то <tex>({P_{\sigma pi \circ \pisigma}})_{i,j} = 1</tex>. Аналогичные рассуждения можно провести когда <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 0</tex>, и также получим, что <tex>({P_{\sigma pi \circ \pisigma}})_{i,j} = 0</tex>. Поэтому для любых <tex>i,j</tex> справедливо <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = ({P_{\sigma pi \circ \pisigma}})_{i,j}</tex>, а раз такое равентсво выполняется, то <tex>P_\sigma P_\pi = P_{\sigma pi \circ \pisigma}</tex>.