Изменения

об аксиоматизации матроида базами

|statement= Пусть семейство <tex>\mathcal B</tex> подмножеств конечного непустого множества <tex>E</tex> удовлетворяет условиям<br>

Тогда <tex>\mathcal B</tex> является семейством баз однозначно определенного [[Определение матроида|матроида]] на <tex>E</tex>.

|proof= Покажем, что все <tex>\mathcal B</tex>-множества равномощны. Пусть <tex>B_1, B_2\in\mathcal B, |B_1|=t, B_1=\{b_1,b_2,\ldots ,b_t\}</tex>. По третьему условию существует <tex>c_1\in B_2</tex> такой, что <tex>\{c_1,b_2,\ldots,b_t\}\in\mathcal B</tex>. <tex>c_1\notin\{b_2,\ldots,b_t\}</tex> в силу условия 2. Аналогично, существует <tex>c_2\in B_2</tex> такой, что <tex>\{c_1,c_2,b_3,\ldots,b_t\}\in\mathcal B</tex> и <tex>c_2\notin\{c_1,b_3,\ldots,b_t\}</tex>. Продолжая этот процесс, получим <tex>\{c_1,c_2,\ldots,c_t\}\in\mathcal B</tex> для некоторых попарно различных элементов <tex>c_1,c_2,\ldots,c_t\in B_2</tex>. В силу второго условия получаем <tex>\{c_1,c_2,\ldots,c_t\}=B_2</tex>, т.е. <tex>|B_2|=t=|B_1|</tex>.<br>