1632
правки
Изменения
м
Легко понять, что с геометрической точки это значитГеометрической смысл этого факта состоит в том, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.
2) Пусть <tex>f</tex> выпукла вверх. Будем считать, что <tex>f^{(2)}</tex> — непрерывна. <tex>x \in \langle a; b\rangle</tex>.
Если В качестве примера рассмотрим <tex>fy = \ln x</tex> выпукла вверх, то <tex>fy'' = \frac{-1}{x^{(2)} \leq 0\Rightarrow \ln x</tex>выпукла вверх. Это мы применим в [[Неравенства_Гёльдера,_Минковского|следующем параграфе]].
В качестве примера рассмотрим <tex>y = \ln x</tex>, <tex>y^{(2)} = \frac{-[[Категория:Математический анализ 1}{x^2} \leq 0 \Rightarrow \ln x</tex> выпукла вверх. Это мы применим в следующем параграфе.курс]]
rollbackEdits.php mass rollback
== Определения ==
Будем рассматривать отрезок <tex>[a; b]</tex>, набор чисел <tex>x_1, x_2, x_3, \ldots x_n \in [a; b]</tex> и коэффициенты <tex>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n > \ge 0</tex>
такие, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i = 1</tex>.
{{Определение
|definition=
Выпуклая комбинация чисел <tex>x_k</tex> — это <tex>\bar x = \sum\limits_{i k = 1}^n \alpha_kx_k</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть [[Отображения|функция]] <tex>f(x)</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда она выпукла вверх на этом отрезке, если
<tex>\forall x_1, x_2 \in [a; b] \forall \alpha \in [0; 1] \quad \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2) \leq f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2)</tex>.
Если же всё время неравенство противоположно, то функция называется выпуклой вниз.
В силу того, что было сказано о выпуклой комбинации, определение корректно: <tex>\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2 \in [a; b]</tex>.
Замечание: если <tex>f(x)</tex> выпукла вниз, то <tex>-f(x)</tex> выпукла вверх.
Неравенство Йенсена
|statement=
Пусть <tex>f(x)</tex> выпукла вверх на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall x_1; , x_2 \ldots x_n \in [a; b]</tex> и их выпуклой комбинации выполнено неравенство
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k f(x_k) \leq f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k\right)</tex>.
|proof=
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k = 1</tex>, обозначим за <tex>s_n = \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k</tex>
Пусть <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{s_n}</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} = 1</tex>. Тогда получаем: <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n} \beta_k = 1</tex>.
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k f(x_k) =
s_n \sum\limits_{k = 1}^n \beta_k f(x_k) + \alpha_{n + 1}f(x_{n + 1}) \leq</tex> (по предположению индукции) <tex>s_n f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \beta_k x_k \right) + \alpha_{n + 1}f(x_{n + 1}) \leq </tex> (так как <tex>s_n + \alpha_{n + 1} = 1</tex>) <tex> f\left(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k x_k\right)</tex>
Значит, шаг индукции проделан, нерваенство неравенство доказано для произвольного <tex>n</tex>. }} == Связь выпуклости и дифференцируемости ==
Применим линейную интерполяцию (в случае <tex>2</tex> узлов) чтобы выяснить связь между выпуклостью и дифференцируемостью функции <tex>f</tex>.
<tex>f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(2)}(c_x)}{2!}(x - x_0)(x - x_1)</tex>, <tex>x_0 \leq x \leq x_1</tex>.
Если <tex>f^{(2)} = \leq 0</tex> на <tex>\langle a; b\rangle</tex> то правая часть будет неотрицательная, так как <tex>x \in [x_0; x_1]</tex>, поэтому <tex>f(x) - L_n(x) \leq geq 0</tex>, так как и т. к. <tex>x_0</tex> и <tex>x_1</tex> произвольны, то <tex>f</tex> выпукла вверх.
Итак, <tex>f^{(2)} = \leq 0 \Rightarrow f </tex> — выпукла вверх.
Пусть <tex>x_0 = x - \Delta x</tex>, <tex>x_1 = x + \Delta x</tex>, где <tex>\Delta x</tex> — малое положительное число.Рассмотрим полином Лагранжа <tex>L_n</tex> для системы узлов <tex>(x_0, x_1)</tex> :
<tex>f(t) - L_n(t) = \frac{f^{(2)}(c_t)}{2!} (t - x_0)(t - x_1)\geq 0, \, (t - x_0)(t - x_1) < 0 \Rightarrow f^{(2)}(c_t) \leq 0</tex>
<tex>c_t \in \langle x - \Delta x; x + \Delta x \rangle</tex>
<tex>\Delta x \to 0 : x_0 c_t \to x : f^{(2)}(x) \leq 0</tex> Итак, если <tex>f</tex> выпукла вверх, то <tex>f^{(2)} \leq 0</tex>. === Пример ===
