<tex> = (p^{1} - 1)(p^{2} - 1)(p^{0} - p^{4} - p^{8} + p^{12} ...) = ... = (p^{1} - 1)(p^{2} - 1)(p^{4} - 1) ... (p^{2^{k-1}} - 1).</tex>
А теперь самое главное - эта величина по модулю Покажем, что <tex>2^T</tex> <tex>\mathrm{64mod}</tex> моментально занулится. Почему? <tex>r = 0</tex>:
Давайте поймёмНужно понять, на какую максимальную степень двойки делится каждая из <tex>k - 1</tex> скобок. Заметим, что <tex>(i + 1)</tex>-ая скобка <tex>p^{2^{i + 1}} - 1 = (p^{2i} - 1)(p^{2i} + 1)</tex> делится на <tex>i</tex>-ую и ещё на какое-то чётное число <tex>p^{2i} + 1</tex>. Это означает, что если <tex>i</tex>-ая скобка делится на <tex>2^r</tex>, то <tex>(i + 1)</tex>-ая скобка делится по меньшей мере на <tex>2^{r + 1}</tex>.
Вот и выходитПолучается, что <tex>(p^1 - 1)(p^2 - 1)(p^4 - 1)...(p^{2k - 1} - 1)</tex> делится по меньшей мере на <tex>2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot ... = 2^{k(k - 1) / 2}</tex>. Значит достаточно взять <tex>k >= 12</tex>, чтобы в рассматриваемой строке было очень много различных подстрок, чьи хеши совпадут.
== См. также ==
