Проблему переполнения при вычислении хешей довольно больших строк можно решить так <tex>{-}</tex> считать хеши по модулю <tex>r=2^{64}</tex> (или <tex>2^{32}</tex>), чтобы модуль брался автоматически при переполнении типов.
Использование полиномиального хеша именно с убывающими степенями Для работы алгоритма потребуется считать хеш подстроки <tex>s[i..j]</tex>. Делать это можно следующим образом: Рассмотрим хеш <tex>s[0..j]</tex>: <tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1] + p^{i} s[i] +...+ p^{j-1} s[j-1] + p^{j} s[j]</tex> Разобьем это выражение на две части: <tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = (s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1) + (p^{i} s[i] +...+ p^{j-1} s[j-1] + p^{j} s[j])</tex> Вынесем из последней скобки множитель <tex>p^{i}</tex> позволяет : <tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = (s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1) + p^{i}(s[i] +...+ p^{j-i-1} s[j-1] + p^{j-i} s[j])</tex> Выражение в первой скобке есть не что иное, как хеш подстроки <tex>s[0..i-1]</tex>, а во второй — хеш нужной намподстроки <tex>s[i..j]</tex>. Итак, мы получили, что: <tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = \mathrm{hash}(s[0..i-1]) + p^{i}\mathrm{hash}(s[i..j])</tex> Отсюда получается следующая формула для <tex>\mathrm{hash}(s[i..j])</tex>: <tex>\mathrm{hash}(s[i..j]) = (1/p^{i})(\mathrm{hash}(s[0..j]) - \mathrm{hash}(s[0..i-1]))</tex> Однако, зная как видно из формулы, чтобы уметь считать хеш некоторой строкидля всех подстрок начинающихся с <tex>i</tex>, посчитать нужно предпосчитать все <tex>p^{i}</tex> для <tex>i \in [0..n - 1]</tex>. Это займет много памяти. Но поскольку нам нужны только подстроки размером <tex>m</tex> <tex>{-}</tex> мы можем подсчитать хеш строки, образованной удалением первого символа и добавлением символа в конецподстроки <tex>s[0..m-1]</tex>, а затем пересчитывать хеши для всех <tex>i \in [0..n - m]</tex> за <tex>O(1)</tex>следующим образом:
<tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) = (\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{m - 1} s[i]) \bmod r</tex>.
