Изменения

'''Алгоритм Фарака-Колтона, Бендера (алгоритм Фарах-Колтона, Бендера)''' — применяется для решения за <tex>\langle O(N),O(1) \rangle</tex> времени специального случая задачи <tex>RMQ </tex> (поиск минимума на отрезке), в котором соседние элементы входной последовательности различаются на ±1. Может быть использован также для [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ|решения задачи <tex>LCA</tex>]].

|definition = Дан массив <tex>A[1 \ldots N]</tex> целых чисел, соседние элементы которой отличаются на ±1<tex>\pm 1</tex>. Поступают онлайн запросы вида <tex>(l, r)</tex>, для каждого из которых требуется найти минимум среди элементов <tex>A[l], A[l + 1], \ldots, A[r] </tex>.

Данный алгоритм основывается на методе решения задачи <tex>RMQ </tex> с помощью [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженной таблицы (sparse table, ST)]] за <tex>\langle O(N \log N),O(1) \rangle</tex>.

Чтобы избавиться от логарифма используется предподсчёт ответа для небольших подстрок входной последовательности. Разделим последовательность <tex>a_iA_i</tex> на блоки длины <tex>\frac{\log_2 N}{2}</tex>. Для каждого блока вычислим минимум на нём и определим <tex>b_iB_i</tex> как позицию минимального элемента в <tex>i</tex>-том ом блоке.

На новой последовательности <tex>b_iB_i</tex> построим [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженную таблицу]]. Теперь для ответа на запрос <tex>RMQ</tex><tex>[i:j]</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> находятся в разных блоках, нам необходимо вычислить следующее:# минимум на отрезке от <tex>i</tex> до конца блока, содержащего <tex>i</tex> блока;

Второй элемент мы уже умеем находить за <tex>O(1)</tex> с помощью <tex>b_iИ_i</tex> и ST. Осталось научиться находить минимум по отрезку, границы которого не совпадают с границами блоков.

|statement=Если две последовательности <tex>x_i</tex> и <tex>y_i</tex> таковы, что все их элементы на соответствующих позициях различаются на одну и ту же константу (т.е. <tex>\forall k: x_k = y_k + C</tex>), то любой запрос <tex>RMQ </tex> даст один и тот же ответ для обеих последовательностей.

|proof=Соседние элементы в блоках отличаются на ±1<tex>\pm 1</tex>. Первый элемент в нормализованном блоке всегда равен нулю. Таким образом, каждый нормализованный блок может быть представлен ±1<tex>\pm 1</tex>-вектором длины <tex>(\frac{\log_2 N}{2}) - 1</tex>. Таких векторов <tex>2^{(1/2 \cdot \log_2 N) - 1} = O(\sqrt N)</tex>.

Осталось создать <tex>O(\sqrt N)</tex> таблиц — <tex>~---</tex> по одной для каждого типа блока. В такую таблицу необходимо занести предподсчитанные ответы на все возможные запросы минимума внутри блока соответствующего типа, коих которых <tex>(\frac{\log_2 N}{2})^2 = O(\log^2 N)</tex>. Для каждого блока в <tex>b_iB_i</tex> необходимо заранее вычислить его тип. Таким образом мы получили возможность отвечать на запрос минимума по любой части блока за <tex>O(1)</tex>, затратив на предподсчёт <tex>O(\sqrt N \log^2 N)</tex> времени.

== Источники информации==* ''Bender, M.A., Farach-Colton, M.'' — '''{{---}} The LCA Problem Revisited'''. — LATIN (2000), с. 88-94