Изменения
→Теорема об интегрировании положительных рядов
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при почти всех <tex>x</tex>. Тогда: <tex>\displaystyle\int \limits_X \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int \limits_X U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
Пусть <tex>f_n(x) = U_1(x) + U_2(x) + \dotsb + U_n(x)</tex>, далее по т. Леви<br>
<tex>f = \lim f_n</tex><br>
<tex>0 \leqslant f_n \leqslant f_{n+1} \leqslant \dotsb</tex><br>
Тогда выражение слева от знака равенства равно <tex>\displaystyle\int\limits_X f \,d\mu</tex>, а справа — <tex> \displaystyle\lim\limits_X \int \sum_{k=1}^n U_k(x) \,d\mu = \lim_{n \to +\infty}\Bigl(\int\limits_X f_n \,d\mu\Bigr) = \int\limits_X f \,d\mu</tex>
}}
