Изменения
→Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> — суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < \le g(x)</tex><br>
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(\mathfrak B) \in subset \mathfrak A</tex><br><tex>\nu \colon \mathfrak B \to \overline{\mathbb{R}}, \quad \nu(\mathfrak B) = \mu(\Phi^{-1}(\mathfrak B))</tex> - — мера<br><tex>\nu</tex> - — образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak({B)}, ?)</tex><br><tex>w \geqslant 0</tex> - — измеримая на <tex>X</tex> функция<br><tex>\Phi \colon X \to Y, \quad \Phi^{-1}(\mathfrak B) \in subset \mathfrak A</tex><br>Тогда <texdpi=150>\nu(B) = \displaystyle\int\limits_{\Phi^{-1}(\mathfrak B)} w \,d\mu</tex> - — взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - — вес
}}
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: \colon \mathfrak A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности<br>
Тогда <tex>\mu</tex> — заряд
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B \ (E B \in \mathfrak A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) <br><tex>B \in \mathfrak A</tex> - — множество положительности
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, \nu \colon \mathfrak A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in \mathfrak A: \mu (a ) = 0 \Rightarrow \nu (a ) = 0</tex><br>
Тогда <tex>\nu</tex> — абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}
=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(XE, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
{{Определение
|definition=Ряд сходится, если существует элемент из гильбертового
пространства, являющийся пределом частичных сумм.
}}
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2ktikt}</tex> — ряд Фурье
}}
=== Коэффициенты Фурье функции ===
{{Определение
|definition= Коэффициенты Фурье функции <tex>f</tex> — <tex>a_0(f), a_k(f), b_k(f), c_k(f)</tex> из формулы тригонометрического ряда.
Можно вычислить по формулам:
<tex>
a_0 = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \,dx \\
a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \cos kx \,dx \\
b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \sin kx \,dx \\
c_k = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \exp(-ikx) \,dx </tex>
}}
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.совокупности: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_nK_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}
=== Метод суммирования средними арифметическими ===
{{Определение
|definition=<tex>\sum a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^n S_k</tex>
}}
=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
{{Определение
|definition=
<tex>\varphi \colon \mathbb R^2 \to M \subset \mathbb R^3</tex>.<br>
Мера в <tex>M</tex> — взвешенный образ меры Лебега в <tex>\mathbb R^2</tex> с весом <tex>|\varphi'_u \times \varphi'_v|</tex>
}}
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
=== Интеграл II рода ===
{{Определение
|definition=
<tex>
\gamma \colon [a, b] \to \mathbb R^m, \quad V = (A_1, \dotsc, A_m) \\
\displaystyle\int_\gamma A_1 \,dx_1 + \dotsb + A_m \,dx_m = \int_a^b \langle V, \gamma' \rangle \,dt
</tex>
}}
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
{{Определение
|definition=Ориентация контура называется согласованной со стороной поверхности, если векторное произведение нормали и вектора скорости направлено внутрь контура.
}}
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
<tex>f = \lim f_n</tex><br>
<tex>0 \leqslant f_n \leqslant f_{n+1} \leqslant \dotsb</tex><br>
Тогда выражение слева от знака равенства равно <tex>\displaystyle\int\limits_X f \,d\mu</tex>, а справа — <tex> \displaystyle\lim\int\limits_X \int \sum_{k=1}^n U_k(x) \,d\mu = \lim_{n \to +\infty}\Bigl(\int\limits_X f_n \,d\mu\Bigr) = \int\limits_X f \,d\mu</tex>
}}
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
<tex>X_n = X (|f| > n) \quad X_n \supset X_{n+1} \supset ... \quad \bigcap X_n = e</tex>, т.к. <tex>f</tex> - суммируема, <tex>\mu e = 0</tex><br>
<tex>\nu E = \int\limits_E |f| d\mu</tex> - мера <tex>\nu</tex><br>
<tex>\nu X < + \infty</tex> (т.к. <tex>f</tex> - суммируема и <tex>\int\limits_X |f| d\mu < +\infty</tex>)<br>
Тогда по свойству непрерывности меры сверху: <tex>\nu X_n \to 0</tex><br>
Запишем данное высказывание как <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon : \nu(X_{n_\epsilon}) < \dfrac{\epsilon}{2}</tex>, т.е. <tex>\int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br>
Теперь пусть <tex>\delta := \dfrac{\epsilon}{2 \cdot n_\epsilon}</tex><br>
<tex>\int\limits_E |f| d\mu = \int\limits_{E \cap X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} |f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} n_\epsilon d\mu \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon \cdot \mu E < \epsilon</tex>
}}
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> - суммируема, т.к. <tex>\int |f_n| \leqslant \int g < + \infty</tex><br>
<tex>f</tex> - суммируема, т.к. <tex>\exists f_{n_k} \to f</tex> почти везде, <tex> |f_{n_k}| \leqslant g \Rightarrow |f| \leqslant g</tex><br>
<tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \to 0 ?</tex><br>
Рассмотрим два случая:<br>
1) <tex>\mu X < +\infty</tex><br>
Берём <tex>\epsilon > 0 \quad X_n := X (|f_n - f| > \epsilon) \quad \mu X_n \to 0</tex><br>
<tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu</tex><br>
Для <tex>X_n</tex> выполнено <tex>|f_n - f| \leqslant |f_n| + |f| \leqslant 2 \cdot g</tex><br>
А для <tex>X^C_n</tex> выполнено <tex> |f_n - f| < \epsilon</tex><br>
Тогда <tex>\int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} 2 \cdot g d\mu + \int\limits_{X^C_n} \epsilon d\mu \leqslant 2 \cdot \int\limits_{X_n} g + \epsilon \cdot \mu X \leqslant \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br>
Получили <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N: \forall n > N \quad \int\limits_X |f_n - f| d\mu < \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br>
Осталось найти номер <tex>N</tex>. Нужно взять такой, чтобы <tex>\mu X_n < \delta</tex>.<br>
2) <tex>\mu X = +\infty</tex><br>
TBD
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : \colon X \rightarrow \tildeoverline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\displaystyle\int |f-f_n|d\mu \to 0, \int_X f_n \to \int_X f</tex>
|proof=
Легко видеть, что <tex>f, f_n</tex> — суммируемые.<br>
<tex>
h_n := \sup(|f_n - f|, |f_{n+1} - f|, \dotsc) \\
h_n \geqslant h_{n+1} \geqslant \dotsb; \qquad |f_n - f| \leqslant 2g \Rightarrow h_n \leqslant 2g
</tex>
Кстати, <tex>\lim h_n = \varlimsup |f_n - f| = 0</tex> при п.в. <tex>x</tex>.
Рассмотрим ф-ии <tex>2g - h_n \geqslant 0</tex> — возр.
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \int_X \lim(2g - h_n) = 2 \int_X g</tex>
С другой стороны,
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \lim\biggl(2 \int_X g - \int_X h_n\biggr) \Rightarrow \int_X h_n \to 0 \Rightarrow \int_X |f_n - f| \leqslant \int_X h_n</tex>
}}
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>f_n(x) = f(x, y_n)</tex>, где <tex>y_n \rightarrow y_0, y_n \in (Y \cap U) \setminus \{a\}</tex>.
Применим теорему Лебега для <tex>f_n</tex>.
}}
# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0y_0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x \in X, y_0 + h \in Y, h \not = 0</tex><br>
<tex>F(x, h) = \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h}</tex> <br>
Т.к. <tex>\frac{I(y_0 + h) - I(y_0)}{h} = \int\limits_X \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h} d\mu(x) = \int\limits_X F(x, h) d\mu(x)</tex>, то при <tex>h \rightarrow 0</tex> сразу будет следовать теорема. Для доказательства законности этого перехода докажем, что <tex>F</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в <tex>h = 0</tex>:
<tex>f'_y</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}</tex>, поэтому найдутся такие <tex>\delta</tex> и <tex>g</tex>, что <tex>|f'_y(x, y)| \leq g(x)</tex> при почти всех <tex>x</tex> и при <tex>y \in Y, 0 < |y - y_0| < \delta</tex>.
Теорема Лагранжа о среднем применённая к <tex>y \rightarrow f(x, y)</tex> на <tex>(y_0, y_0 + h)</tex> даст <tex>F(x, h) = f'_y(x, y_0 + \theta h)</tex>. Поэтому <tex>F(x, h) \leq g(x)</tex>.
}}
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot \operatorname{sgn}(\alpha)</tex>
|proof=
Можно, например, [[wikipedia:Dirichlet integral#Via the Dirichlet kernel|вот так]].
}}
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
Это очевидно верно, если <tex>f -</tex> характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной <tex>f</tex>.
Для произвольной неотрицательной <tex>f</tex> рассмотрим последовательность простых неотрицательных функций <tex>f_n</tex> и по теореме Леви (предельный переход) теорем доказана для неотрицательных <tex>f</tex>.
Для отрицательных там надо что-то ещё сделать))))
}}
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
<tex>\Rightarrow)</tex> Очевидно<br>
<tex>\Leftarrow)</tex> Пусть <tex>w > 0</tex> (без потери общности)<br>
<tex>A = \bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} A_k (q^k \leqslant w \leqslant q^{k-1}) \quad q \in (0, 1)</tex><br>
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu (A_k) \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot q^k \cdot \mu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
<tex>q \to 1-0</tex><br>
<tex>\nu(A) = \int\limits_{A} w d\mu</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E A \in \mathfrak A, \quad E \mu A \geqslant 0</tex> - множество положительности<br>Тогда <tex>\exists G B \subset EA</tex> - — множество положительности: <tex>\mu(GB) \geqslant \mu(EA)</tex>
|proof=
<div style="margin-left: 1em">
{{Определение
|definition=<tex>C</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности,если <tex>\forall B \subset C \quad \mu B \geqslant -\varepsilon</tex>
}}
{{Утверждение
|statement= <tex>\forall \varepsilon > 0 \ A</tex> содержит мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности.
|proof=
#<tex>A</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — очевидно
#<tex>A</tex> не явл. мн-вом <tex>\varepsilon</tex>-положительности: <tex>\exists B_1 \subset A : \mu B_1 < -\varepsilon</tex><br><!--
--><tex>C_1 := A \setminus B_1 \Rightarrow \mu C_1 > \mu A</tex>
##<tex>C_1</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — ОК
##Иначе <tex>\exists B_2 \subset C_1 : \mu B_2 < -\varepsilon \quad C_2 := C_1 \setminus B_2 \quad \mu C_2 > \mu C_1</tex>
#Продолжаем в том же духе — и рано или поздно приходим к успеху, т.к. иначе <tex>\mu \left( \bigcup B_i \right) = -\infty</tex>
}}</div>
<tex>C_1 \subset A</tex> — мн-во 1-положительности: <tex>\mu C_1 \geqslant \mu A</tex><br>
<tex>C_2 \subset C_1</tex> — мн-во <tex>1/2</tex>-положительности: <tex>\mu C_2 \geqslant \mu C_1</tex><br>
<tex>\vdots</tex><br>
<tex>C_n \subset C_{n-1}</tex> — мн-во <tex>1/n</tex>-положительности: <tex>\mu C_n \geqslant \mu C_{n-1}</tex><br>
Пусть <tex>B = \bigcap C_i</tex><br>
<tex>\mu B = \lim\limits_{i \to +\infty} \mu C_i \geqslant \mu A</tex>
}}
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
==== Единственность ====
<div style="margin-left: 1em">
{{Лемма
|statement=Если <tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.и <tex>\displaystyle \forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>, то <tex>f = g</tex> п.в. |proof=<tex>h := f - g</tex>. <tex>\forall A \in \mathfrak A \quad \displaystyle\int_A h \,d\mu = 0 \\ \\X = X(h \geqslant 0) \cup X(h < 0) \\ \\\int\limits_{h \geqslant 0} h \,d\mu = 0, \quad \int\limits_{h < 0} h \,d\mu = 0</tex><br>Легко видеть, что <tex>\displaystyle\int_X |h| \,d\mu = 0 \ \Rightarrow h = 0</tex> п.в.
}}
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: \colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм<br>Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |\det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>\phivarphi\colon O \in subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм<br>Пусть <tex>O_1 := \phivarphi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex><br>Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phivarphi)(x) \cdot |\det \phivarphi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \times \nu</tex><br><tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \times \mathfrak{B}</tex><br>
Тогда:
# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to mapsto \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>
<tex>f \colon X \times Y \to \overline{\mathbb{R}}</tex> — <tex>m</tex>-сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to mapsto q(x) = \int f_x \,d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f \,d\nu = \int q \,d\mu</tex>
{{Теорема
|statement=
<tex>D \subset \mathbb R^3 \quad \partial D</tex> — ориент. полем внешних нормалей,<br>
<tex>(P, Q, R)</tex> — гл. век. поле в <tex>D</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\iint\limits_{\partial D} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint\limits_D (P'_x + Q'_y + R'_z)\,dx\,dy\,dz</tex>
|proof=
}}
