Изменения
→Лемма о множествах вполне положительности заряда
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E A \in \mathfrak A, \quad E A </tex> - — множество положительности<br>Тогда <tex>\exists G B \subset EA</tex> - — множество положительности: <tex>\mu(GB) \geqslant \mu(EA)</tex>
|proof=
<div style="margin-left: 1em">
{{Определение
|definition=<tex>C</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности,если <tex>\forall B \subset C \quad \mu B \geqslant -\varepsilon</tex>
}}
{{Утверждение
|statement= <tex>\forall \varepsilon > 0 \ A</tex> содержит мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности.
|proof=
#<tex>A</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — очевидно
#<tex>A</tex> не явл. мн-вом <tex>\varepsilon</tex>-положительности: <tex>\exists B_1 \subset A : \mu B_1 < -\varepsilon</tex><br><!--
--><tex>C_1 := A \setminus B_1 \Rightarrow \mu C_1 > \mu A</tex>
##<tex>C_1</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — ОК
##Иначе <tex>\exists B_2 \subset C_1 : \mu B_2 < -\varepsilon \quad C_2 := C_1 \setminus B_2 \quad \mu C_2 > \mu C_1</tex>
#Продолжаем в том же духе — и рано или поздно приходим к успеху, т.к. иначе <tex>\mu \left( \bigcup B_i \right) = -\infty</tex>
}}</div>
<tex>C_1 \subset A</tex> — мн-во 1-положительности: <tex>\mu C_1 \geqslant \mu A</tex><br>
<tex>C_2 \subset C_1</tex> — мн-во <tex>1/2</tex>-положительности: <tex>\mu C_2 \geqslant \mu C_1</tex><br>
<tex>\vdots</tex><br>
<tex>C_n \subset C_{n-1}</tex> — мн-во <tex>1/n</tex>-положительности: <tex>\mu C_n \geqslant \mu C_{n-1}</tex><br>
Пусть <tex>B = \bigcap C_i</tex><br>
<tex>\mu B = \lim\limits_{i \to +\infty} \mu C_i \geqslant \mu A</tex>
}}
