42
правки
Изменения
м
Новая страница: «Лекция от 13 сентября 2010. <tex> \mathbb N </tex> - натуральные числа = {1, 2, 3, ...} Определяются следующим …»
Лекция от 13 сентября 2010.
<tex> \mathbb N </tex> - натуральные числа = {1, 2, 3, ...}
Определяются следующим образом:
За числом n в натуральном ряде непосредственно следует n + 1, между n и n + 1 других
<tex> k \in \mathbb N </tex> ''нет''.
Гильберт: натуральные числа - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.
<tex> \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} </tex> - множество целых чисел.
<tex> \mathbb N \subset \mathbb Z </tex>
<tex> \mathbb Q </tex> - рациональные числа:
<tex> \mathbb Q = \{\frac mn ; m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \}; </tex>
Множество <tex> \mathbb Q </tex> ''упорядочено''.
Всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> r < q, r = q, r > q </tex>
{{Определение
|definition= <tex> |x| = \begin{cases} \ \ x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} </tex>
- модуль или абсолютная величина числа x
}}
//Почему же так неровно?
Свойства:
<tex>
1) |ab| = |a||b|; \\
2) |x + y| \le |x| + |y|; \\
3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r;
</tex>
В <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\
\exists n \in \mathbb N : q < n*r
</tex>
Пусть A, B - два числовых множества.
{{Определение
|definition= Запись A < B означает, что <tex> \forall a \in A, b \in B \Rightarrow a < b </tex>
}}
Аналогично определяются записи типа <tex> A \le B </tex>, ...
Если <tex> B = \{b\}: A < B \Leftrightarrow A < b </tex>
{{Утверждение
|statement= Пусть А, B состоят из рациональных положительных чисел r, таких, что
A = {рациональные положительные r: r^2 < 2};
B = {рациональные положительные r: r^2 > 2};
Тогда <tex> \exists d \in \mathbb Q : A \le d \le B </tex>
|proof=
Допустим, что существует <tex> d \in \mathbb Q </tex>
<tex> d^2 < 2, d^2 = 2, d^2 > 2</tex>
<tex> d^2=2</tex> - невозможно, доказывается через несократимость дроби <tex> d = \frac mn: </tex>
<tex> m^2 = 2n^2, </tex>2 - простое, значит m делится без остатка на 2n
<tex> m = 2p, 4p^2 = 2n^2, n^2=2p^2; n\, \vdots \, 2</tex>, противоречие.
2 случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>.
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
<tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 </tex>
<tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \Leftrightarrow \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 < 2, 2 - d^2 > 0 </tex>
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
<tex> A \le d. d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
Для случая <tex> d^2 > 2 </tex> доказывается аналогично.
}}
Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел в <tex> \mathbb Q </tex>.
Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:
# 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
# Сохранение упорядоченности.
# Выполнение аксиомы непрерывности:
Пусть А и В - 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве
<tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
Получается множество, называемое множеством ''вещественных'' чисел - <tex> \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R </tex>
Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.
Для анализа важно то, что для <tex> \mathbb R </tex> выполняется аксиома непрерывности.
Несколько моделей <tex> \mathbb R </tex> :
# Модель Дедекинда
# Модель Вейерштрасса
# Модель Кантора
Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что <tex> \mathbb Q </tex> ''всюду плотно'' на <tex> \mathbb R </tex>:
В любом вещественном интервале <tex> (a, b) : (x: a < x < b) </tex> найдется рациональное число.
Для нас этот важен тем, что он гарантирует единственность пополнения <tex> \mathbb Q </tex> для выполнения аксиомы непрерывности.
Любое такое пополнение приводит к множествам, изоморфным друг другу.
<tex> \mathbb N </tex> - натуральные числа = {1, 2, 3, ...}
Определяются следующим образом:
За числом n в натуральном ряде непосредственно следует n + 1, между n и n + 1 других
<tex> k \in \mathbb N </tex> ''нет''.
Гильберт: натуральные числа - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.
<tex> \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} </tex> - множество целых чисел.
<tex> \mathbb N \subset \mathbb Z </tex>
<tex> \mathbb Q </tex> - рациональные числа:
<tex> \mathbb Q = \{\frac mn ; m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \}; </tex>
Множество <tex> \mathbb Q </tex> ''упорядочено''.
Всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> r < q, r = q, r > q </tex>
{{Определение
|definition= <tex> |x| = \begin{cases} \ \ x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} </tex>
- модуль или абсолютная величина числа x
}}
//Почему же так неровно?
Свойства:
<tex>
1) |ab| = |a||b|; \\
2) |x + y| \le |x| + |y|; \\
3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r;
</tex>
В <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\
\exists n \in \mathbb N : q < n*r
</tex>
Пусть A, B - два числовых множества.
{{Определение
|definition= Запись A < B означает, что <tex> \forall a \in A, b \in B \Rightarrow a < b </tex>
}}
Аналогично определяются записи типа <tex> A \le B </tex>, ...
Если <tex> B = \{b\}: A < B \Leftrightarrow A < b </tex>
{{Утверждение
|statement= Пусть А, B состоят из рациональных положительных чисел r, таких, что
A = {рациональные положительные r: r^2 < 2};
B = {рациональные положительные r: r^2 > 2};
Тогда <tex> \exists d \in \mathbb Q : A \le d \le B </tex>
|proof=
Допустим, что существует <tex> d \in \mathbb Q </tex>
<tex> d^2 < 2, d^2 = 2, d^2 > 2</tex>
<tex> d^2=2</tex> - невозможно, доказывается через несократимость дроби <tex> d = \frac mn: </tex>
<tex> m^2 = 2n^2, </tex>2 - простое, значит m делится без остатка на 2n
<tex> m = 2p, 4p^2 = 2n^2, n^2=2p^2; n\, \vdots \, 2</tex>, противоречие.
2 случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>.
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
<tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 </tex>
<tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \Leftrightarrow \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 < 2, 2 - d^2 > 0 </tex>
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
<tex> A \le d. d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
Для случая <tex> d^2 > 2 </tex> доказывается аналогично.
}}
Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел в <tex> \mathbb Q </tex>.
Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:
# 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
# Сохранение упорядоченности.
# Выполнение аксиомы непрерывности:
Пусть А и В - 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве
<tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
Получается множество, называемое множеством ''вещественных'' чисел - <tex> \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R </tex>
Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.
Для анализа важно то, что для <tex> \mathbb R </tex> выполняется аксиома непрерывности.
Несколько моделей <tex> \mathbb R </tex> :
# Модель Дедекинда
# Модель Вейерштрасса
# Модель Кантора
Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что <tex> \mathbb Q </tex> ''всюду плотно'' на <tex> \mathbb R </tex>:
В любом вещественном интервале <tex> (a, b) : (x: a < x < b) </tex> найдется рациональное число.
Для нас этот важен тем, что он гарантирует единственность пополнения <tex> \mathbb Q </tex> для выполнения аксиомы непрерывности.
Любое такое пополнение приводит к множествам, изоморфным друг другу.
