1302
правки
Изменения
Нет описания правки
Лекция от 13 сентября 2010.
Множество натуральных чисел <tex> \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}</tex> определяется следующим образом: За числом <tex>n </tex> в натуральном ряде непосредственно следует <tex>n + 1</tex>, между <tex>n </tex> и <tex>n + 1 </tex> других
<tex> k \in \mathbb N </tex> ''нет''.
Гильберт: натуральные ''Натуральные числа - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.'' == Целые числа ==
Множество целых чисел <tex> \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} </tex> - множество целых чисел.<tex> \mathbb N \subset \mathbb Z </tex>
Множество рациональных чисел ''упорядочено'', то есть всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> \mathbb Q r < q, r = q</tex> или <tex> r > q </tex> ''упорядочено''.
{{Определение
|definition= <tex> |x| = \begin{cases} x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} </tex>
}}
Свойствамодуля:
<tex>
</tex>
=== Аксиома Архимеда === В множестве <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\
</tex>
== Дополнение множества рациональных чисел == Пусть <tex>A, B - </tex> — два числовых множества.
{{Определение
|definition= Запись <tex>A < B </tex> означает, что <tex> \forall a \in A, b \in B \Rightarrow a < b </tex>
}}
Если <tex> B = \{b\}: A < B \Leftrightarrow A < b </tex>
=== Неполнота числовой оси ===
{{Утверждение
|statement= Пусть А, B состоят из рациональных положительных чисел r, таких, что
<tex>A = \{рациональные положительные r: \in \mathbb Q | r > 0, r^2 < 2\} \\B = \{ r \in \mathbb Q | r > 0, r^2 > 2\};</tex>
Тогда <tex> \exists d : A \le d \le B = {рациональные положительные r: r^2 </tex> 2};
|proof=
Допустим, что такое d существует и <tex> d \in \mathbb Q </tex>. Тогда возможны три случая:
<tex> d^2 < 2, \ d^2 = 2, \ d^2 > 2</tex>
<tex> d^2=2</tex> - — невозможно, доказывается через несократимость дроби <tex> d = \frac mn: </tex>
<tex> m^2 = 2n^2, \ </tex>2 - простое, значит <tex>m </tex> делится без остатка на <tex>2n</tex>
<tex> m = 2p, \ 4p^2 = 2n^2, \ n^2=2p^2; \ n\, :\vdots \, :2</tex>, противоречие.
2 случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>.
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \Leftrightarrow \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 < 2, 2 - d^2 > 0 </tex>
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q ;\ \delta_0 = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
<tex> A \le d. ;\ d + \delta_0 \le d, \ \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
Для случая <tex> d^2 > 2 </tex> доказывается аналогично.
}}
Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел в <tex> \mathbb Q </tex>во множестве рациональных чисел.
Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:
# 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
# Выполнение аксиомы непрерывности:
Пусть <tex>А </tex> и <tex>В - </tex> — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве<tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.
