403
правки
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Эту статью требуется как следует вычитать, так как во время её написания я всем своим нутром чуял, что
пишу какой-то бред, однако не осознавая, где он, и не имел достаточного знания математического анализа
для его моментального исправления.
== Определение дифференцциала и производной ==
Пусть функция <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>.
Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>.
Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta n \to 0} \Delta y = 0</tex>.
С целью более подробного изучения <tex>\Delta y</tex> она линеаризуется по <tex>x</tex>. Отсюда возникает
понятие дифференциала.
Опред.
<tex>f</tex> дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где
<tex>o(\Delta x)</tex> — такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>x \to 0</tex>.
Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют дифференциалом в точке <tex>x</tex>.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
Утверждение.
Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) \Delta x</tex>.
Доказательчтво:
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> — бесконечно малая.
Определение:
<tex>f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</tex>
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).
Однако, это верно только для функций одной переменной.
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной,
значит, она не дифференцируема.
\subsection{Стандартные арифметические свойства производной}
\begin{itemize}
\item{<tex>(f + g)' = f' + g'</tex>}
\item{<tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>}
\item{<tex>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</tex>}
\end{itemize}
Докажем, например, второе свойство.
<tex>\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g</tex>
<tex>(fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} =
\frac{\Delta fg}{\Delta x} +
\frac{f \Delta g}{\Delta x} +
\frac{\Delta f \Delta g}{\Delta x} =
f'g + g'f
</tex>
Основное значение имеет правило дифференцирование сложной функции:
<tex>\Delta y = \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0</tex>.
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет подставлять <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
<tex>
o(\Delta x) = \left\{
\begin{aligned}
0 & ,{\,} \Delta x = 0\\
o(\Delta x) & ,{\,} \Delta x \ne 0\\
\end{aligned}\right.
</tex>.
Это мотивировано непрерывностью в точке функции в точке <tex>x</tex>.
(это что?)
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \, 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow
\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \iff
|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|
</tex>
Здесь и далее будем считать, что <tex>o(0) = 0</tex>.
Теорема:
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференциркема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема
в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex>
и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
Доказательство:
Рассмотрим <tex>\Delta y = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0) + o(\Delta y)</tex>.
<tex>f(x + x_0) - f(x_0) = f(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
<tex>g</tex> определена в окрестности <tex>y_0</tex>. Так как <tex>df \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, то
при <tex>\Delta x \to 0 f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.
<tex>z = ??????, x = x_0 + \Delta x</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> корректно определено.
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
<tex>y_0 = f(x_0)</tex>
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>
<tex>g'(y_0) \cdot f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
<tex>\Rightarrow g'(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x +
g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y) \Rightarrow dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
<tex>z' = g'(y_0) f'(x_0)</tex>
Для доказательства теоремы осталось доказать тот факт, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>:
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \, |\Delta y| < \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y|</tex>
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) =
(f'(x_0) + o(1))\Delta x<tex>, где </tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex>, так как это
бесконечно малая функция.
Тогда <tex>y_0 \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.
Для имеющегося <tex>\delta > 0</tex> подберем
<tex>\delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta \Rightarrow
|o(\Delta y)| < \varepsilon |o(\Delta x)| =(?) \varepsilon |f'(x_0) + o(1)|\Delta x</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1, o(\Delta y) \leq M\varepsilon |\delta x| \Rightarrow
o(\Delta y) = o(\Delta x)
</tex>
