Изменения

в) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + ...</tex> и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.<br>

<tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh</tex><br>

<tex>\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =</tex> <tex> \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}</tex><br>

<tex>...</tex><br>

<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex>}}