212
правок
Изменения
Нет описания правки
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
}}
{{Определение
|definition='''Многогранником''' называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
}}
{{Определение
|definition=Фигура Ф называется '''выпуклой''', если любые две ее точки можно соединить отрезком, целиком содержащейся в этой фигуре.
}}
[[Файл:77891.jpg|350px|thumb|center|Пример невыпуклого многоугольника]]
{{Утверждение
|statement=
Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
}}
{{Теорема
Для этой сетки справедливо соотношение <tex>V - E + F ' = 1 </tex>. Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
Следствие из формулы Эйлера для многогранников
|statement=
В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
|proof=
Обозначим через <tex>V_{i}</tex> число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа вершин <tex>V</tex> имеет место равенство <tex>V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots</tex>. Аналогично, обозначим через <tex>F_{i}</tex> число граней выпуклого многогранника, у которых имеется <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа граней <tex>F</tex> имеет место равенство <tex>F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots</tex> . Посчитаем число ребер <tex>E</tex> многогранника. Имеем: <tex>3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E</tex>, <tex>3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E</tex>. По теореме Эйлера выполняется равенство <tex>4V – 4E + 4F = 8</tex>. Подставляя вместо <tex>V</tex>, <tex>E</tex> и <tex>F</tex> их выражения, получим:
<tex>4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots – (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8</tex>.
Следовательно, <tex>V_{3} + F_{3} = 8 + V_{5} + \dots + F_{5} + \dots </tex>, значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.}}
==Литература==
