212
правок
Изменения
Нет описания правки
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> - число вершин, <tex>E</tex> - число ребер и <tex>F</tex> - число граней данного многогранника.
|proof=
[[Файл:Hypercube.gif|350px|thumb|right|Пример невыпуклого многоугольника для которого V - E + F = 0. Многоугольник получен путем вырезания куба внутри куба]]
Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку, содержащую <tex>F' = F - 1</tex> многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями), <tex>V</tex> вершин и <tex>E</tex> ребер.
Для этой сетки справедливо соотношение , известное из планиметрии: <tex>V - E + F ' = 1 </tex>. Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
}}
