748
правок
Изменения
Нет описания правки
Докажем утверждение теоремы для одной из компоненты связности графа <tex>G</tex>. Ясно, что имея укладки на плоскости каждой из компонент связности графа, мы можем получить укладку на плоскости и всего графа.
Итак пусть граф <tex>G</tex> связен. Если <tex>G = K_1</tex>, то <tex>G</tex> очевидно планерен, поэтому предположим, что <tex>|EG| \ge geqslant 1</tex> , а значит имеется по-крайней мере один блок в <tex>G</tex>. Рассмотрим связный подграф <tex>T</tex> графа блоков и точек сочленений графа <tex>G</tex> такой, что <tex>\forall v</tex> - т.с. <tex>G</tex> имеем <texяtex>\deg(v) \ge geqslant 2</tex>. Из [[Граф блоков-точек сочленения#lemma1|леммы]] и из связности <tex>T</tex> получаем, что <tex>T</tex> — двудольное [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]].
Докажем индукцией по числу вершин в графе <tex>T</tex>, что подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> состоящий из блоков графа <tex>G</tex> принадлежащих графу <tex>T</tex> планарен (далее будем говорить, что <tex>G'</tex> соответствует <tex>T</tex>).
