113
правок
Изменения
Нет описания правки
# Докажите теорему о декомпозиции: любой поток можно представить в виде $f = \sum с_if_{P_i} + \sum d_j f_{C_j}$, где $P_i$ - пути из s в t, $C_j$ - циклы, $f_{P_i}$ и $f_{C_j}$ - единичные потоки вдоль этих путей/циклов, $c_i$ и $d_j$ - константы.
# Докажите, что для любых $V$ и $E$ ($E = O(V^2)$, $E = \Omega(V)$) существует граф с $V$ вершинами и $E$ ребрами, в котором любая декомпозиция любого максимального потока содержит $\Omega(E)$ слагаемых, каждое из которых есть путь/цикл длины $\Omega(V)$.
# Поток назовём циркуляцией, если его величина равна 0. Пусть в графе $G$ заданы две функции на ребрах: $L: E\to \mathbb{R}$ и $UR: E\to \mathbb{R}$. Будем называть циркуляцию допустимой, если $L(uv) \le f(uv) \le R(uv)$. Требуется свести задачу поиска допустимой циркуляции в сети к задаче о максимальном потоке.
# Сведите задачу о максимальном потоке с несколькими истоками и несколькими стоками к обычной задаче о максимальном потоке.
# Можно ввести понятие пропускной способности вершины $c(u)$ как максимальной разрешенной суммы $\sum_{uv}f(uv)$. Решите задачу о максимальном потоке для графа с пропускными способностями вершин.
