577
правок
Изменения
→Описание алгоритма
Пусть в каком-то сегменте нет ни одной контактной вершины. В таком случае граф до выделения <tex>G_{plane}</tex> был несвязным, что противоречит условию. Пусть контактная вершина в сегменте только одна. Это значит, что в графе был мост, чего быть не может так же по условию. Таким образом, в каждом сегменте имеется не менее двух контактных вершин. Соответственно, в каждом сегменте есть цепь между любой парой контактных вершин.
Пусть грань <tex>\Gamma</tex> '''вмещает''' сегмент <tex>S</tex>, если номера всех контактных вершин <tex>S</tex> принадлежат этой грани, <tex>S \subset \Gamma \subset S</tex>. Очевидно, таких граней может быть несколько. Множество таких граней обозначим <tex>\Gamma(S)</tex>, а их число {{---}} <tex>|\Gamma(S)|</tex>. Итак, рассмотрим все сегменты <tex>S_{i}</tex> и для каждого определим число <tex>|\Gamma(S_{i})|</tex>. Если найдется такой номер <tex>i</tex>, что <tex>|\Gamma(S_{i})| = 0</tex>, то граф не планарен, алгоритм завершает работу. Иначе выбираем такой сегмент <tex>S_{i}</tex>, для которого число <tex>|\Gamma(S_{i})|</tex> минимально. Если таких сегментов несколько, можно выбрать любой из них. Найдем в этом сегменте цепь между двумя контактными вершинами и уложим ее в любую грань из множества <tex>|\Gamma(S_{i})|</tex>, совместив контактные вершины сегмента с соответствующими вершинами грани. Выбранная грань разобьется на две. Выбранный сегмент после того, как из него взяли цепь, либо исчезнет, либо распадется на меньшие части, в которых будут новые контактные вершины, ведущие к вершинам обновленного <tex>G_{plane}</tex>. В примере для любого <tex>i</tex>: <tex>S_{i} \subset \{\Gamma_{1}, \Gamma_{2}\}</tex>, то есть <tex>|\Gamma(S_{i})| = 2</tex>. Следовательно, можем выбрать любой <tex>S_{i}</tex>. Пусть это будет сегмент <tex>S_{1}</tex>. В нем есть цепь <tex>\{1, 4\}</tex>. Вставим эту цепь в грань <tex>\Gamma_{1}</tex>, например. После укладки цепи граф <tex>G</tex> и сегменты будут выглядеть так (рис. 4): {| cellpadding="2"| || [[Файл:Гамма-алгоритм4.jpg|thumb|left|500px|Рис. 4. Граф и сегменты после второго этапа.]]|}
