304
правки
Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} == Постановка задачи == В курсе математического анализа уже рассмотрено дв…»
{{В разработке}}
== Постановка задачи ==
В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный зарактер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью инерполяционного полинома:
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>
Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.
Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?
Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.
Заметим, что непрерывность функции является необходимым условием. Действительно, пусть <tex>f</tex> такова, что <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> полином найдётся. Покажем, что <tex>f</tex> необходимо непрерывна:
:<tex>\forall \varepsilon > 0</tex> есть полином <tex>P</tex>, "обслуживающий" <tex>\varepsilon</tex> на всём отрезке.
:<tex>|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|</tex>.
Но полином непрерывен, а, значит, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| < \varepsilon</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| < 3 \varepsilon</tex>, то есть, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x</tex>.
Положительный ответ на поставленный вопрос впервые был дан Вейерштрассом.
== Теорема о существовании искомого полинома ==
{{Теорема
|about=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
}}
== Постановка задачи ==
В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный зарактер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью инерполяционного полинома:
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>
Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.
Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?
Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.
Заметим, что непрерывность функции является необходимым условием. Действительно, пусть <tex>f</tex> такова, что <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> полином найдётся. Покажем, что <tex>f</tex> необходимо непрерывна:
:<tex>\forall \varepsilon > 0</tex> есть полином <tex>P</tex>, "обслуживающий" <tex>\varepsilon</tex> на всём отрезке.
:<tex>|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|</tex>.
Но полином непрерывен, а, значит, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| < \varepsilon</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| < 3 \varepsilon</tex>, то есть, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x</tex>.
Положительный ответ на поставленный вопрос впервые был дан Вейерштрассом.
== Теорема о существовании искомого полинома ==
{{Теорема
|about=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
}}
