Изменения
Нет описания правки
иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ).}}
{{Утверждение|statement=если <tex>y_1(x),\dots, y_n(x)</tex> - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных.
|proof=пусть <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0</tex> при некотором наборе <tex>\alpha_i</tex> , среди которых хотя бы одна отлична от нуля.
тогда <tex>y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n</tex>, где <tex>\alpha_m \neq 0</tex> }}
==Фундаментальная система решений ЛОДУ==
\end{vmatrix}</tex>}}
{{Теорема|about=критерий ЛНЗ решений ЛОДУ|statement= пусть <tex>y_1(x), \dots , y_n(x)</tex> - некоторая совокупность решений уравнения <tex>\alpha(y) = 0</tex>.
Тогда она образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда <tex>W(x) \equiv neq 0</tex> на (a, b).
|proof=
рассмотрим сумму <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)</tex>, и найдем набор <tex>\alpha_1, \dots, \alpha_n</tex>, при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф.
\end{matrix}\right.
</tex><br>
получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель не равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.}}==Общее решение ЛОДУ=={{Утверждение|about=Формула Остроградского-Лиувиля|statement=Определитель Вронского равен <tex dpi="145">W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}</tex>, где <tex>p_1(x)</tex> {{---}} коэффицент при<tex>y^{(n - 1)}</tex>}}{{Теорема|about=структура общего решения ЛОДУ|statement=пусть <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) тогда общее решение имеет вид:<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex>|proof= <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно. Покажем, что <tex>(\ast) </tex> - общее решение:<tex>\left\{\begin{matrix}y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)\\ y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x)\\\dots \\ y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x) \end{matrix}\right.</tex> {{---}} эта система разрешима относительно <tex>C_i, \forall i=1..n</tex>, так как <tex>W(x) \neq 0 \:\:\: ???WAT???</tex>}}
