Изменения
Новая страница: «==Опеределение== {{Определение|definition=совокупность <tex>F_k(x, y_1(x), \dots, y_n(x), y_1'(x), \dots, y_n'(x)) = 0 \: k = 1...»
==Опеределение==
{{Определение|definition=совокупность <tex>F_k(x, y_1(x), \dots, y_n(x), y_1'(x), \dots, y_n'(x)) = 0 \: k = 1..m \: (1)</tex> называется системой ЛОДУ первого порядка.}}
{{Определение|definition=совокупность <tex>y_1(x), \dots, y_n(x) \in C'((a,b))</tex> называется решением системы (1) <tex>\Leftrightarrow</tex> эти функции обращают систему (1) в тождество.}}
{{Определение|definition=<tex dpi="145">\frac{dy_k}{dx} = f_k(x, y_1, \dots, y_n), \: k = 1..n</tex> {{---}} называется нормальной системой (системой в нормальной форме) ЛОДУ.}}
Систему можно переписать в виде:
<br>
<tex dpi= "145">\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})</tex>, где
<tex dpi="145">y = \begin{pmatrix}
y_1(x)\\
\dots\\
y_n(x)
\end{pmatrix},\:\:
\frac{d\bar{y}}{dx} = \begin{pmatrix}
\frac{dy_1}{dx}\\
\dots\\
\frac{dy_n}{dx}
\end{pmatrix}, \:\:
f(x, \bar{y}) = \begin{pmatrix}
f(x, y_1 , \dots, y_n)\\
\dots\\
f(x, y_1, \dots, y_n)
\end{pmatrix}</tex>
==Задача Коши==
Требуется найти решение уравнения вида <tex>\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})</tex>, с начальными условиями: <tex>\bar{y}(x_0) = \bar{y^0} =
\begin{pmatrix}
y^0_1
\\
\dots
\\
y^0_n
\end{pmatrix}</tex>
{{Теорема|author=Пикар|statement=
<tex dpi = "145">
\frac{d\bar{y}}{dx} = \bar{f}(x, \bar{y}) \:(6)
</tex>, если <tex dpi = "145">\left\{\begin{matrix}
\bar{f}(x, \bar{y}) \in C(V_r(x_0,\bar{y^0}))
\\
\frac{\partial \bar{f}(x, \bar{y})}{\partial \bar{y}} \in C(V_r(x_0,\bar{y^0}))
\end{matrix}\right. </tex>, то существует единственное решение задачи Коши в шаре V
}}
{{Определение|definition= общим решением системы (6) называется совокупность <tex>y_k(x) = \phi_k(x, C_1, \dots, C_n) \: (7) \in C(D)</tex> удовлетворяющая следующим свойствам:
1) система (7) разрешима относительно констант Cn: <tex>C_k=\psi_k(x, y_1, \dots, y_k) \: (8)</tex>
2) совокупность (7) {{---}} есть решение (6) при любом наборе констант <tex>C_1, \dots, C_n</tex>, определенных в (8), если <tex>(x,\bar{y}) \in D</tex>. }}
==Связь с уравнениями высшего порядка==
{{Определение|definition=совокупность <tex>F_k(x, y_1(x), \dots, y_n(x), y_1'(x), \dots, y_n'(x)) = 0 \: k = 1..m \: (1)</tex> называется системой ЛОДУ первого порядка.}}
{{Определение|definition=совокупность <tex>y_1(x), \dots, y_n(x) \in C'((a,b))</tex> называется решением системы (1) <tex>\Leftrightarrow</tex> эти функции обращают систему (1) в тождество.}}
{{Определение|definition=<tex dpi="145">\frac{dy_k}{dx} = f_k(x, y_1, \dots, y_n), \: k = 1..n</tex> {{---}} называется нормальной системой (системой в нормальной форме) ЛОДУ.}}
Систему можно переписать в виде:
<br>
<tex dpi= "145">\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})</tex>, где
<tex dpi="145">y = \begin{pmatrix}
y_1(x)\\
\dots\\
y_n(x)
\end{pmatrix},\:\:
\frac{d\bar{y}}{dx} = \begin{pmatrix}
\frac{dy_1}{dx}\\
\dots\\
\frac{dy_n}{dx}
\end{pmatrix}, \:\:
f(x, \bar{y}) = \begin{pmatrix}
f(x, y_1 , \dots, y_n)\\
\dots\\
f(x, y_1, \dots, y_n)
\end{pmatrix}</tex>
==Задача Коши==
Требуется найти решение уравнения вида <tex>\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})</tex>, с начальными условиями: <tex>\bar{y}(x_0) = \bar{y^0} =
\begin{pmatrix}
y^0_1
\\
\dots
\\
y^0_n
\end{pmatrix}</tex>
{{Теорема|author=Пикар|statement=
<tex dpi = "145">
\frac{d\bar{y}}{dx} = \bar{f}(x, \bar{y}) \:(6)
</tex>, если <tex dpi = "145">\left\{\begin{matrix}
\bar{f}(x, \bar{y}) \in C(V_r(x_0,\bar{y^0}))
\\
\frac{\partial \bar{f}(x, \bar{y})}{\partial \bar{y}} \in C(V_r(x_0,\bar{y^0}))
\end{matrix}\right. </tex>, то существует единственное решение задачи Коши в шаре V
}}
{{Определение|definition= общим решением системы (6) называется совокупность <tex>y_k(x) = \phi_k(x, C_1, \dots, C_n) \: (7) \in C(D)</tex> удовлетворяющая следующим свойствам:
1) система (7) разрешима относительно констант Cn: <tex>C_k=\psi_k(x, y_1, \dots, y_k) \: (8)</tex>
2) совокупность (7) {{---}} есть решение (6) при любом наборе констант <tex>C_1, \dots, C_n</tex>, определенных в (8), если <tex>(x,\bar{y}) \in D</tex>. }}
==Связь с уравнениями высшего порядка==
