146
правок
Изменения
Нет описания правки
Нам нужно только указать разбиение множества рёбер <tex>E</tex> графа на <tex>(2n - 1)</tex> <tex>1</tex>-фактора. Для этого обозначим вершины графа <tex>G</tex> через <tex>v_1, v_2, \dots, v_{2n}</tex> и определим множества рёбер <tex>X_i = (v_iv_{2n}) \cup (v_{i - j}v_{i + j}; j = 1, 2, \dots, n - 1)</tex>, <tex>i = 1, 2, \dots, 2n - 1 </tex>, где каждый из индексов <tex>i - j</tex> и <tex>i + j</tex> является одним из чисел <tex>1, 2, \dots, 2n - 1</tex>; здесь сумма и разность берутся по модулю <tex>2n - 1</tex>. Легко видеть, что набор <tex>X_i</tex> даёт необходимое разбиение множества <tex>X</tex>, а сумма подграфов <tex>G_i</tex>, порождённых множествами <tex>X_i</tex>, является <tex>1</tex>-факторизацией графа <tex>K_{2n}</tex>.
}}
== 2-факторизация ==
Если граф <tex>2</tex>-факторизуем, то каждый его фактор должен быть объединением непересекающихся (по вершинам) циклов. Если <tex>2</tex>-фактор связен, то он является гамильтоновым циклом. Поскольку в <tex>2</tex>-факторизуемом графе все вершины должны иметь чётные степени, то полный граф <tex>K_{2n}</tex> не является <tex>2</tex>-факторизуемым. Нечётные полные графы <tex>2</tex>-факторизуемы.
{{Теорема
|statement =
Граф <tex>K_{2n+1}</tex> можно представить в виде суммы <tex>n</tex> гамильтоновых циклов.
|proof =
Для того чтобы в графе <tex>K_{2n+1}</tex> построить <tex>n</tex> гамильтоновых циклов, непересекающихся по рёбрам, перенумеруем сначала его вершины <tex>v_1, v_2, \dots, v_{2n+1}</tex>. На множестве вершин <tex>v_1, v_2, \dots, v_{2n}</tex> зададим <tex>n</tex> непересекающихся простых цепей <tex>P_i=v_i v_{i-1} v_{i+1} v_{i-2} \dots v_{i+n-1}v_{i-n}</tex> следующим образом: <tex>j</tex>-ой вершине цепи <tex>P_i</tex> является вершина <tex>v_k</tex>, где <tex>k=i+(-1)^{j+1}[j/2]</tex>, все индексы приводятся к числам <tex>1, 2, \dots, 2n </tex> по модулю <tex>2n</tex>. Гамильтонов цикл <tex>Z_i</tex> можно получить, соединив вершину <tex>v_{2n+1}</tex> с концевыми вершинами цепи <tex>P_i</tex>.
}}
== Источники информации ==
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
