Изменения

Предположим противное, пусть существует вершина <tex>v \in V \backslash\{s,t\}</tex>, что после какого-то увеличения потока длина кратчайшего пути из <tex>s</tex> в <tex>v</tex> уменьшилась. Обозначим потоки до и после увеличения соответственно за <tex>f</tex> и <tex>f'</tex>. Пусть <tex>v</tex> {{---}} вершина, расстояние <tex>\delta'_f(s,v)</tex> от <tex>s</tex> до которой минимально и уменьшилось с увеличением потока. Имеем <tex>\delta'_f(s,v) < \delta_f(s,v)</tex>. Рассмотрим путь <tex>p = s \leadsto u \rightarrow v</tex>, являющийся кратчайшим от <tex>s</tex> к <tex>v</tex> в <tex>G'_f</tex>. Тогда верно, что <tex>\delta'_f(s, u) = \delta'_f(s,v) - 1</tex>.

Предположим <tex>(u, v) \in E_f</tex>, тогда <tex>\delta_f(s,v) \leqslant \delta_f(s, u) + 1 \leqslant \delta'_f(s,u) + 1 = \delta'_f(s, v)</tex>. Это противоречит <tex>\delta'_f(s,v) < \delta_f(s,v)</tex>.